b) Suponha que as duas máquinas são máquinas de Carnot. A máquina 1 opera entre as temperaturas e . O gás na máquina 2 varia a temperatura entre e . Em termos destas temperaturas, qual é a eficiência da máquina da combinação?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre máquinas de Carnot, que são modelos ideais de motores térmicos com a máxima eficiência possível entre duas temperaturas. Aqui, a máquina 1 opera entre as temperaturas (mais quente) e (intermediária). Já a máquina 2 opera entre e (mais fria). A gente precisa encontrar a eficiência da combinação dessas duas máquinas em termos dessas temperaturas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da eficiência de uma máquina de Carnot. A eficiência de uma máquina de Carnot é dada por:
Onde:
é a temperatura da fonte quente.
é a temperatura da fonte fria.
Essa fórmula nos diz a fração da energia térmica que pode ser convertida em trabalho útil.
Passo 3
Vamos calcular a eficiência de cada máquina individualmente usando a fórmula acima.
Máquina 1:
Fonte quente:
Fonte fria:
Então, a eficiência da máquina 1 é:
Máquina 2:
Fonte quente:
Fonte fria:
A eficiência da máquina 2 é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a eficiência da combinação das duas máquinas. Quando temos duas máquinas térmicas em série, a saída (trabalho) da primeira máquina alimenta a segunda. A eficiência total é a fração da energia da fonte mais quente que é convertida em trabalho pela combinação das máquinas.
Observando as fórmulas das eficiências individuais:
Podemos multiplicar as eficiências para encontrar a eficiência total:
Vamos simplificar essa expressão:
Mas, para máquinas de Carnot em série, a eficiência combinada simplifica para:
Isso acontece porque as temperaturas intermediárias se cancelam no processo.