Represente na forma de uma equaçao vetorial os conjuntos abaixo:
(x, 1+x, 3-2 x) para todo x real

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos o conjunto de pontos (x, 1+x, 3-2x) para todo x real. Nosso objetivo é representar esse conjunto na forma de uma equação vetorial. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e como eles descrevem linhas no espaço tridimensional.

Passo 2

Uma equação vetorial de uma linha no espaço geralmente tem a forma r = r0 + tv, onde:
  • r é o vetor posição qualquer na linha.
  • r0 é o vetor posição de um ponto específico na linha.
  • v é o vetor diretor, que indica a direção da linha.
  • t é um parâmetro real que varia ao longo da linha.

Passo 3

Vamos identificar r0 e v a partir do nosso conjunto de pontos (x, 1+x, 3-2x).
Primeiro, quando x = 0, o ponto é (0, 1+0, 3-2cdot0) = (0, 1, 3). Esse será nosso vetor posição r0 = 0 1 3 .

Passo 4

Agora, vamos determinar o vetor diretor v. Observando as componentes de x, vemos que:
  • A componente x aumenta de x.
  • A componente y aumenta de 1+x, ou seja, 1 vez o aumento de x.
  • A componente z diminui de 3-2x, ou seja, -2 vezes o aumento de x.
Assim, o vetor diretor é v = 1 1 -2 .

Resposta

A equação vetorial que representa o conjunto dado é:
r = 0 1 3 + t 1 1 -2 , para todo t in R

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