Represente na forma de uma equaçao vetorial os conjuntos abaixo:
(2,3-z, 4+3 z) para todo z real

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para transformar o conjunto \ para qualquer número real em uma equação vetorial. Estamos no assunto de Geometria Analítica, especificamente trabalhando com equações vetoriais de retas. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar pontos e direções usando vetores.

Passo 2

Primeiro, observe que o conjunto dado descreve todos os pontos que seguem a forma onde pode ser qualquer número real. Isso significa que é o nosso parâmetro que vai variar.

Passo 3

Vamos identificar um ponto fixo na reta e o vetor de direção. Para isso, escolha um valor específico para (2, 3 - 0, 4 + 3 times 0) = (2, 3, 4) . Por exemplo, se 2 3 4 :
Então, o ponto fixo é .

Passo 4

Agora, vamos determinar o vetor de direção. Observe como as coordenadas mudam em relação a 0 -1 3 . Se incrementarmos em 1, as coordenadas mudam da seguinte forma:
  • A primeira coordenada permanece 2 (não muda com ).
  • A segunda coordenada diminui em 1.
  • A terceira coordenada aumenta em 3.
Portanto, o vetor de direção é .

Passo 5

Com o ponto fixo r = r0 + tv e o vetor de direção identificados, podemos montar a equação vetorial da reta. A forma geral é:
onde é um parâmetro real que representa todas as possíveis direções ao longo da reta.

Resposta

A equação vetorial que representa o conjunto dado é:
r = 2 3 4 + t 0 -1 3 , t in R

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