Represente, no plano complexo, os números: -3+j 1
Converta-os para a forma polar ( r e^j theta,-pi ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para representarmos o número complexo -3 + j1 no plano complexo e depois convertê-lo para a forma polar, que é r e^j theta, onde theta está entre -pi e pi. Para isso, vamos precisar entender como calcular o módulo (que é o r) e o argumento (que é o theta) desse número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o módulo r do número complexo. O módulo é basicamente a distância do ponto que representa o número no plano complexo até a origem (0,0). Para calcular isso, usamos a fórmula:
r = raiza^2 + b^2
Onde a é a parte real e b é a parte imaginária do número complexo. No nosso caso, a = -3 e b = 1.

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
r = raiz(-3)^2 + (1)^2 = raiz9 + 1 = raiz10 approx 3,16
Então, o módulo r é aproximadamente 3,16.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento theta, que é o ângulo que o número faz com o eixo real no plano complexo. Usamos a fórmula do arco-tangente:
theta = arctan(ba)
Mas atenção! Como o número a = -3 é negativo e b = 1 é positivo, isso significa que o ponto está no segundo quadrante do plano complexo. Assim, precisamos ajustar o ângulo calculado para refletir a posição correta no segundo quadrante.

Passo 5

Calculando o ângulo inicial:
theta = arctan(1-3) = arctan(-0,333) approx -0,3218 radianos
Como o ângulo ficou negativo e o ponto está no segundo quadrante, adicionamos pi para ajustar:
theta = -0,3218 + pi approx 2,8198 radianos
Portanto, o argumento theta é aproximadamente 2,82 radianos.

Passo 6

Agora que temos o módulo r approx 3,16 e o argumento theta approx 2,82 radianos, podemos escrever o número na forma polar:
r e^j theta = 3,16 , e^j , 2,82

Resposta

A representação polar do número complexo -3 + j1 é aproximadamente 3,16 , e^j , 2,82.

Exercícios relacionados