Represente as seguintes integrais indefinidas como séries de potências: integral sen xraizx d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida representando-a como uma série de potências. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de potências e integração termo a termo. Precisamos lembrar como expandir a função seno em série e como integrar cada termo dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a expansão em série de potências da função seno. A função pode ser escrita como:
Ou seja, é uma série infinita onde cada termo é sen x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)! .

Passo 3

Agora, queremos dividir por sen xraizx = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)! cdot 1raizx = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1 - 12(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12(2n+1)! . Vamos fazer isso termo a termo na série:
Simplificando o expoente de , temos .

Passo 4

Agora, vamos integrar essa série termo a termo. A integral de uma série é a soma das integrais dos termos individuais, desde que a série convirja:

Passo 5

Vamos integrar integral x^2n+12 , dx = x^2n+322n+32 + C :
2n + 32 = 4n + 32
Simplificando o denominador:
2 x^2n+324n + 3 + C
Então, a integral fica:

Passo 6

Substituindo de volta na série, temos:

Resposta

A integral indefinida pode ser representada como a série de potências:

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