Represente as seguintes integrais indefinidas como séries de potências:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida representando-a como uma série de potências. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de potências e integração termo a termo. Precisamos lembrar como expandir a função seno em série e como integrar cada termo dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a expansão em série de potências da função seno. A função pode ser escrita como:
Ou seja, é uma série infinita onde cada termo é
.
Passo 3
Agora, queremos dividir por
. Vamos fazer isso termo a termo na série:
Simplificando o expoente de
, temos
.
Passo 4
Agora, vamos integrar essa série termo a termo. A integral de uma série é a soma das integrais dos termos individuais, desde que a série convirja:
Passo 5
Vamos integrar
:
Simplificando o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 6
Substituindo de volta na série, temos:
Resposta
A integral indefinida pode ser representada como a série de potências:
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Usando a Regra da Cadeia, calcule a derivada da função dada.
Faça cada um dos itens abaixo: Investigue a convergência da série
.
Usando a Regra da Cadeia, calcule a derivada da função dada.
Efetue os cálculos.
b.
b.