Faça cada um dos itens abaixo: Investigue a convergência da série sumi=0^infty 2^n+53^n.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa série: sumn=0^infty 2^n+53^n. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testar a convergência dela.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
sumn=0^infty 2^n+53^n = sumn=0^infty 2^n3^n + sumn=0^infty 53^n

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada uma dessas séries. Para a primeira parte:
2^n3^n = (23)^n
E para a segunda parte:
53^n = 5 cdot (13)^n
Então, nossa série fica:
sumn=0^infty (23)^n + 5 sumn=0^infty (13)^n

Passo 4

Agora, identificamos que ambas as séries são do tipo série geométrica, que tem a forma geral:
sumn=0^infty ar^n,
onde é o primeiro termo e é a razão. Uma série geométrica converge se o valor absoluto de for menor que 1, ou seja, .

Passo 5

Vamos aplicar essa regra nas duas partes da nossa série:
  1. Para :
    • Aqui, .
    • Como , essa série converge.
  2. Para :
    • Aqui, .
    • Como , essa série também converge.

Passo 6

Como ambas as partes da nossa série original convergem individualmente, podemos concluir que a soma delas também converge. Portanto, a série total é convergente.

Resposta

A série sumn=0^infty 2^n+53^n converge.

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