Faça cada um dos itens abaixo: Investigue a convergência da série .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa série: . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testar a convergência dela.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada uma dessas séries. Para a primeira parte:
E para a segunda parte:
Então, nossa série fica:
Passo 4
Agora, identificamos que ambas as séries são do tipo série geométrica, que tem a forma geral:
onde é o primeiro termo e é a razão. Uma série geométrica converge se o valor absoluto de for menor que 1, ou seja, .
Passo 5
Vamos aplicar essa regra nas duas partes da nossa série:
Para :
Aqui, .
Como , essa série converge.
Para :
Aqui, .
Como , essa série também converge.
Passo 6
Como ambas as partes da nossa série original convergem individualmente, podemos concluir que a soma delas também converge. Portanto, a série total é convergente.