Um reservatório cilíndrico de aço ( k=15 W / m K ) com diâmetro interno ( D1 ) de 20 cm e espessura de 5 cm transporta um fluido a 50^circ C que possui coeficiente de convecçảo de 200 W / m^2 K. Com o objetivo de isolar o sistema, a parede externa do reservatório e o tanque é preenchido com um isolante A que possui condutividade k=0,12 W / m K até um diâmetro D3 de 50 cm . O ambiente encontra-se a uma temperatura de 25^circ C, com coeficiente de convecção de 20 W / m^2 K.
a) (1,5) Determine a taxa de transferência de calor para um tubo de 5 m de comprimento. Apresente o circuito térmico do sistema.
b) (1,0) Estuda-se substituir o isolante A por um isolante B, de 5 cm de espessura (novo D3 ), que possui condutividade k=0,05 W/m.K. Este material, no entanto, é mais caro e a substituição só compensa financeiramente se o percentual de redução da taxa em relação ao isolante A for superior a 30 %. Verifique se compensa trocar o material isolante A pelo isolante B.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um reservatório cilíndrico de aço que está transportando um fluido quente e queremos calcular a taxa de transferência de calor desse sistema. Além disso, vamos analisar se vale a pena trocar o material isolante atual por outro mais eficiente, mas mais caro. Para resolver isso, vamos precisar entender condução e convecção de calor, calcular resistências térmicas e aplicar a lei de Fourier para transferência de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as camadas do sistema para montar o circuito térmico. Temos:
  1. Convecção interna: entre o fluido quente e a parede interna do reservatório.
  2. Condução no aço: através da parede interna do reservatório.
  3. Condução no isolante A: ao redor da parede de aço.
  4. Convecção externa: entre o isolante e o ambiente.
Cada uma dessas etapas representa uma resistência térmica que vai influenciar na transferência de calor.

Passo 3

Vamos calcular cada resistência térmica individualmente.
  1. Resistência por convecção interna ( Rci = 1hi cdot Ai ):
    Rca = ln(D2/D1)2pi cdot L cdot kaço
    Onde:
    • RcA = ln(D3/D2)2pi cdot L cdot kA (coeficiente de convecção interna)
    • Rce = 1he cdot Ae é a área interna do cilindro.
  2. Resistência por condução no aço ( ):
    ç
    Onde:
    • (diâmetro interno)
    • ç
    • (comprimento)
    • ç
  3. Resistência por condução no isolante A ( ):
    Onde:
    • (diâmetro externo do isolante A)
  4. Resistência por convecção externa ( ):
    Onde:
    • (coeficiente de convecção externa)
    • é a área externa do isolante A.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada área necessária:
  • Área interna ( Ai = pi cdot D1 cdot L = pi cdot 0,2 cdot 5 = pi cdot 1 = 3,1416 , m^2 ):
    Ae = pi cdot D3 cdot L = pi cdot 0,5 cdot 5 = pi cdot 2,5 = 7,85398 , m^2
  • Área externa do isolante A ( ):

Passo 5

Agora, calculamos as resistências térmicas:
  1. Rci = 1200 cdot 3,1416 approx 0,00159 , K/W :
    Rca = ln(0,3/0,2)2pi cdot 5 cdot 15 = ln(1,5)2pi cdot 75 approx 0,4055471,2385 approx 0,00086 , K/W
  2. RcA = ln(0,5/0,3)2pi cdot 5 cdot 0,12 = ln(1,6667)2pi cdot 0,6 approx 0,51083,7699 approx 0,1353 , K/W :
    Rce = 120 cdot 7,85398 approx 0,00637 , K/W
  3. :
  4. :

Passo 6

Com todas as resistências térmicas calculadas, podemos somá-las para encontrar a resistência total ( Rtotal = Rci + Rca + RcA + Rce approx 0,00159 + 0,00086 + 0,1353 + 0,00637 approx 0,1441 , K/W ):

Passo 7

Agora, aplicamos a Lei de Fourier para encontrar a taxa de transferência de calor ( dotQ = De):
dotQ = 250,1441 approx 173,5 , W
Onde:

Passo 8

Para apresentar o circuito térmico, representamos cada resistência térmica em série:
Convecção interna Condução no aço Condução no isolante A Convecção externa çãçãççãçã

Passo 9

Agora, vamos analisar a substituição do isolante A pelo isolante B. Primeiro, calculamos a nova resistência térmica do isolante B.
Dados do isolante B:
  • Espessura: 5 cm →
  • Condutividade:

Passo 10

Calculamos a resistência térmica do isolante B ( RcB = ln(D3'/D2)2pi cdot L cdot kB = ln(0,4/0,3)2pi cdot 5 cdot 0,05 approx 0,28771,5708 approx 0,1832 , K/W ):

Passo 11

Somamos as resistências térmicas com o novo isolante B:
Rtotal' = Rci + Rca + RcB + Rce approx 0,00159 + 0,00086 + 0,1832 + 0,00637 approx 0,1910 , K/W

Passo 12

Calculamos a nova taxa de transferência de calor com isolante B:
dotQ' = 250,1910 approx 130,9 , W

Passo 13

Calculamos a redução percentual:
Redução = ( 173,5 - 130,9173,5 ) times 100 approx 24,2% çã

Resposta

b) A substituição do isolante A pelo isolante B resulta em uma redução de aproximadamente 24,2% na taxa de transferência de calor. Como essa redução é inferior a 30%, não compensa financeiramente trocar o isolante A pelo isolante B.

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