Um reservatório esférico
de diâmetro externo
e interno
é aquecido internamente por resistência elétrica de modo a manter a temperatura da superfície externa a
. Quando água de chuva a
flui pelo lado externo do reservatório, durante uma tempestade, a potência requerida na resistência é 140 KW . Quando ar atmosférico a
flui pelo lado externo do reservatório, durante uma ventania, a potência requerida é 20 KW .
Calcular a temperatura da superfície interna do reservatório em ambos casos. dado:
Calcular a temperatura da superfície interna do reservatório em ambos casos. dado:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar para resolvê-la. Temos um reservatório esférico com diâmetros interno e externo conhecidos, e uma resistência elétrica que mantém a temperatura da superfície externa a 90°C. Quando água de chuva ou ar atmosférico flui pelo lado externo, diferentes potências são requeridas na resistência para manter essa temperatura. Nosso objetivo é calcular a temperatura da superfície interna do reservatório em ambos os casos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor por condução em um escoamento esférico e também converter unidades de potência de KW para kcal/h.
Passo 2
Vamos começar convertendo as potências fornecidas de KW para kcal/h, já que a condutividade térmica está dada em kcal/h·m·°C.
Sabemos que:
Portanto:
-
Para a água de chuva:
-
Para o ar atmosférico:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área das superfícies interna e externa do reservatório esférico. A fórmula para a área de uma esfera é:
Calculando os raios:
-
Raio externo:
-
Raio interno:
Agora, as áreas:
-
Área externa:
-
Área interna:
Passo 4
Vamos aplicar a lei de condução de calor de Fourier para um escoamento esférico. A transferência de calor
por condução através da parede esférica é dada por:
Onde:
-
(condutividade térmica) -
-
-
-
é o que vamos encontrar.
Passo 5
Sabemos que a potência necessária para manter a temperatura externa é igual à taxa de perda de calor:
Portanto, podemos igualar as duas expressões:
Queremos encontrar
, então rearranjamos a equação:
Passo 6
Vamos calcular
para os dois casos:
Caso 1: Água de chuva (
)
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Portanto:
Caso 2: Ar atmosférico (
)
Calculando o numerador:
Calculando o denominador (igual ao anterior):
Portanto:
Resposta
A temperatura da superfície interna do reservatório é aproximadamente 965°C quando água de chuva flui pelo exterior durante uma tempestade e 215°C quando ar atmosférico flui pelo exterior durante uma ventania.