Um reservatório esférico (k=1,65 kcal / h m ^circ C) de diâmetro externo 1,2 m e interno 1,1 m é aquecido internamente por resistência elétrica de modo a manter a temperatura da superfície externa a 90^circ C. Quando água de chuva a 25^circ C flui pelo lado externo do reservatório, durante uma tempestade, a potência requerida na resistência é 140 KW . Quando ar atmosférico a 25^circ C flui pelo lado externo do reservatório, durante uma ventania, a potência requerida é 20 KW .
Calcular a temperatura da superfície interna do reservatório em ambos casos. dado: 1 KW=860 Kcal / h

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar para resolvê-la. Temos um reservatório esférico com diâmetros interno e externo conhecidos, e uma resistência elétrica que mantém a temperatura da superfície externa a 90°C. Quando água de chuva ou ar atmosférico flui pelo lado externo, diferentes potências são requeridas na resistência para manter essa temperatura. Nosso objetivo é calcular a temperatura da superfície interna do reservatório em ambos os casos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor por condução em um escoamento esférico e também converter unidades de potência de KW para kcal/h.

Passo 2

Vamos começar convertendo as potências fornecidas de KW para kcal/h, já que a condutividade térmica está dada em kcal/h·m·°C.
Sabemos que:
1 KW = 860 Kcal/h
Portanto:
  • Para a água de chuva:
    Pchuva = 140 KW times 860 Kcalh·KW = 120,400 Kcal/h
  • Para o ar atmosférico:
    Par = 20 KW times 860 Kcalh·KW = 17,200 Kcal/h

Passo 3

Agora, vamos calcular a área das superfícies interna e externa do reservatório esférico. A fórmula para a área de uma esfera é:
A = 4pi R^2
Calculando os raios:
  • Raio externo:
    Rext = 1,2, m2 = 0,6, m
  • Raio interno:
    Rint = 1,1, m2 = 0,55, m
Agora, as áreas:
  • Área externa:
    Aext = 4pi (0,6)^2 approx 4pi times 0,36 approx 4,524 m^2
  • Área interna:
    Aint = 4pi (0,55)^2 approx 4pi times 0,3025 approx 3,8 m^2

Passo 4

Vamos aplicar a lei de condução de calor de Fourier para um escoamento esférico. A transferência de calor Q = 4pi k Rint Rext (Tint - Text)Rext - Rint por condução através da parede esférica é dada por:
Onde:
  • (condutividade térmica)
  • é o que vamos encontrar.

Passo 5

Sabemos que a potência necessária para manter a temperatura externa é igual à taxa de perda de calor:
P = Q
Portanto, podemos igualar as duas expressões:
P = 4pi k Rint Rext (Tint - Text)Rext - Rint
Queremos encontrar Tint = Text + P (Rext - Rint)4pi k Rint Rext , então rearranjamos a equação:

Passo 6

Vamos calcular Tint = 90 + 120,400 times (0,6 - 0,55)4pi times 1,65 times 0,55 times 0,6 para os dois casos:
Caso 1: Água de chuva ( 120,400 times 0,05 = 6,020 )
4pi times 1,65 times 0,55 times 0,6 approx 4 times 3,1416 times 1,65 times 0,55 times 0,6 approx 6,888
Calculando o numerador:
Tint = 90 + 6,0206,888 approx 90 + 874,9 approx 964,9,°C
Calculando o denominador:
Tint = 90 + 17,200 times (0,6 - 0,55)4pi times 1,65 times 0,55 times 0,6
Portanto:
17,200 times 0,05 = 860
Caso 2: Ar atmosférico ( 6,888 )
Tint = 90 + 8606,888 approx 90 + 124,9 approx 214,9,°C
Calculando o numerador:
Calculando o denominador (igual ao anterior):
Portanto:

Resposta

A temperatura da superfície interna do reservatório é aproximadamente 965°C quando água de chuva flui pelo exterior durante uma tempestade e 215°C quando ar atmosférico flui pelo exterior durante uma ventania.

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