A resistência de uma bobina de cobre de um transformador é de 1,6 Omega a 20^circ C. Após algum tempo de funcionamento a resistência do enrolamento aumentou para 1,9 Omega. Calcule a variação da temperatura do enrolamento no tempo de funcionamento, considerando que o cobre tem resistência nula a -234,5^circ C. Refaça os cálculos considerando os seguintes dados para o cobre: resistividade a 20^circ C: 1,73 E-8 Omega m e coeficiente de temperatura de 0,00427 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bobina de cobre com resistência de 1,6 , Omega a 20^circ C. Depois de algum tempo, essa resistência aumenta para 1,9 , Omega. O objetivo é descobrir quanto a temperatura do enrolamento aumentou durante esse tempo. Para isso, precisaremos usar conceitos de resistência elétrica e como ela varia com a temperatura.

Passo 2

Sabemos que a resistência de um material pode ser afetada pela temperatura. A relação entre resistência e temperatura é dada pela fórmula:
R = R0 [1 + alpha (T - T0)]
Onde:
  • $ R $ é a resistência final,
  • $ R_0 $ é a resistência inicial,
  • $ \alpha $ é o coeficiente de temperatura,
  • $ T $ é a temperatura final,
  • $ T_0 $ é a temperatura inicial.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a variação de temperatura usando a primeira parte da questão, que considera que a resistência do cobre é nula a -234,5^circ C. Nesse caso, podemos rearranjar a fórmula para encontrar $ T $:
T
Mas como a resistência é nula a T = T0 + R - R0alpha R0 , $ T_0 = -234,5^\circ \mathrm{C} $.

Passo 4

Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
1,9 = 1,6 [1 + alpha (T - (-234,5))]
1,9 = 1,6 [1 + 0,00427 (T + 234,5)]
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ T $.

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 1,6:
1,91,6 = 1 + 0,00427 (T + 234,5)
1,1875 = 1 + 0,00427 (T + 234,5)
Subtraindo 1 de ambos os lados:
0,1875 = 0,00427 (T + 234,5)

Passo 6

Agora, dividimos ambos os lados por 0,00427:
0,18750,00427 = T + 234,5
43,88 = T + 234,5
Subtraindo 234,5 de ambos os lados:
T = 43,88 - 234,5
T = -190,62^circ C
Isso não faz sentido, pois a temperatura aumentou. Isso indica que a primeira abordagem não é adequada, já que assumimos uma resistência nula a uma temperatura muito baixa.

Passo 7

Agora, vamos refazer os cálculos usando os dados fornecidos: resistividade a 20^circ C é 1,73 times 10^-8 , Omega m e o coeficiente de temperatura é 0,00427.

Passo 8

Usamos a mesma fórmula de variação da resistência:
R = R0 [1 + alpha (T - T0)]
Onde:
  • $ R_0 = 1,6 , \Omega $ a $ T_0 = 20^\circ \mathrm{C} $,
  • $ R = 1,9 , \Omega $,
  • $ \alpha = 0,00427 $.

Passo 9

Substituindo os valores na fórmula:
1,9 = 1,6 [1 + 0,00427 (T - 20)]
Dividindo ambos os lados por 1,6:
1,91,6 = 1 + 0,00427 (T - 20)
1,1875 = 1 + 0,00427 (T - 20)
Subtraindo 1 de ambos os lados:
0,1875 = 0,00427 (T - 20)

Passo 10

Dividindo ambos os lados por 0,00427:
0,18750,00427 = T - 20
43,88 = T - 20
Somando 20 a ambos os lados:
T = 43,88 + 20
T = 63,88^circ C

Resposta

A variação da temperatura do enrolamento durante o funcionamento foi de aproximadamente 63,88^circ C.

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