Uma linha de transmissão de alumínio (resistividade a
) de 100 km e 13 mm de diâmetro deve transportar uma corrente de 60 A . Qual a potência dissipada na linha de transmissão nas temperaturas de
e
com a mesma conduzindo 60 A ? Dado: o coeficiente de temperatura do alumínio é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre linhas de transmissão de eletricidade. A questão fala de uma linha de alumínio com 100 km de comprimento e 13 mm de diâmetro, que está transportando uma corrente de 60 A. Queremos saber qual é a potência dissipada nessa linha quando a temperatura é de 20°C e quando sobe para 45°C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de resistividade, resistência elétrica e potência elétrica.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a área da seção transversal da linha de transmissão. Como a linha é circular, usamos a fórmula da área do círculo:
Onde:
- $ d $ é o diâmetro da linha (13 mm = 0,013 m),
- $ r $ é o raio (metade do diâmetro, então 0,0065 m).
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a resistência da linha a 20°C usando a fórmula da resistência elétrica:
Onde:
- $ \rho $ é a resistividade do alumínio a 20°C ($ 2,83 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $),
- $ L $ é o comprimento da linha (100 km = 100.000 m),
- $ A $ é a área que calculamos acima.
Substituindo:
Passo 4
Com a resistência em mãos, podemos calcular a potência dissipada usando a fórmula:
Onde $ I $ é a corrente (60 A).
Então:
Passo 5
Agora, vamos ver como a resistência muda quando a temperatura sobe para 45°C. A resistividade do alumínio aumenta com a temperatura, e isso é dado pela fórmula:
Onde:
- $ \alpha $ é o coeficiente de temperatura ($ 3,91 \times 10^{-3} , /^\circC $),
- $ T $ é a nova temperatura (45°C).
Calculando:
Passo 6
Com a nova resistividade, calculamos a nova resistência:
E a potência dissipada agora é:
Resposta
A potência dissipada na linha de transmissão de alumínio conduzindo 60 A é aproximadamente 76,824 kW a 20°C e 84,168 kW a 45°C.