Uma linha de transmissão de alumínio (resistividade a 20^circ C: 2,83 times 10^-8 Omega m ) de 100 km e 13 mm de diâmetro deve transportar uma corrente de 60 A . Qual a potência dissipada na linha de transmissão nas temperaturas de 20^circ C e 45^circ C com a mesma conduzindo 60 A ? Dado: o coeficiente de temperatura do alumínio é 3,91 times 10^-3 / ^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre linhas de transmissão de eletricidade. A questão fala de uma linha de alumínio com 100 km de comprimento e 13 mm de diâmetro, que está transportando uma corrente de 60 A. Queremos saber qual é a potência dissipada nessa linha quando a temperatura é de 20°C e quando sobe para 45°C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de resistividade, resistência elétrica e potência elétrica.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a área da seção transversal da linha de transmissão. Como a linha é circular, usamos a fórmula da área do círculo:
A = pi times r^2
Onde:
  • $ d $ é o diâmetro da linha (13 mm = 0,013 m),
  • $ r $ é o raio (metade do diâmetro, então 0,0065 m).
Calculando:
d

Passo 3

Agora, vamos calcular a resistência da linha a 20°C usando a fórmula da resistência elétrica:
R = rho times LA
Onde:
  • $ \rho $ é a resistividade do alumínio a 20°C ($ 2,83 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $),
  • $ L $ é o comprimento da linha (100 km = 100.000 m),
  • $ A $ é a área que calculamos acima.
Substituindo:
rho

Passo 4

Com a resistência em mãos, podemos calcular a potência dissipada usando a fórmula:
P = I^2 times R
Onde $ I $ é a corrente (60 A).
Então:
I

Passo 5

Agora, vamos ver como a resistência muda quando a temperatura sobe para 45°C. A resistividade do alumínio aumenta com a temperatura, e isso é dado pela fórmula:
rhoT = rho20°C times [1 + alpha times (T - 20)]
Onde:
  • $ \alpha $ é o coeficiente de temperatura ($ 3,91 \times 10^{-3} , /^\circC $),
  • $ T $ é a nova temperatura (45°C).
Calculando:
alpha

Passo 6

Com a nova resistividade, calculamos a nova resistência:
R45°C = 3,1041 times 10^-8 times 100.0000,0001327 approx 23,38 , Omega
E a potência dissipada agora é:
P45°C = 60^2 times 23,38 approx 3600 times 23,38 approx 84.168 , W , (ou , 84,168 , kW)

Resposta

A potência dissipada na linha de transmissão de alumínio conduzindo 60 A é aproximadamente 76,824 kW a 20°C e 84,168 kW a 45°C.

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