A resistência de um fio de ferro é 5,9 vezes a de un fio de cobre com as mesmas dimensōes. Qual deve ser o diâmetro de um fio de ferro para que tenha a mesma resistência de um fio de cobre de 0,12 cm de diâmetro, admitindo que ambos os fios tenham o mesmo comprimento? 3,29 cm

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois fios: um de ferro e outro de cobre. A resistência do fio de ferro é 5,9 vezes maior que a do fio de cobre quando ambos têm as mesmas dimensões. Queremos descobrir qual deve ser o diâmetro do fio de ferro para que ele tenha a mesma resistência que um fio de cobre com diâmetro de , assumindo que ambos tenham o mesmo comprimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de resistência elétrica e geometria dos fios.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a resistência elétrica R = rho cdot LA de um fio é dada pela fórmula:
onde:
  • é a resistividade do material,
  • é o comprimento do fio,
  • é a área da seção transversal do fio.
Como o comprimento é o mesmo para ambos os fios, podemos focar nas resistividades e áreas.

Passo 3

Queremos que a resistência do fio de ferro seja igual à do fio de cobre. Sabemos que:
RFe = 5,9 cdot RCu
Substituindo na fórmula da resistência:
rhoFe cdot LAFe = 5,9 cdot rhoCu cdot LACu
Como rhoFeAFe = 5,9 cdot rhoCuACu é o mesmo, podemos simplificar:

Passo 4

Assumindo que ambas resistividades são diferentes, mas queremos AFe = 5,9 cdot ACu , rearranjamos a equação para encontrar a relação entre as áreas:
A área da seção transversal de um fio circular é , onde é o diâmetro.

Passo 5

Como pi cdot (dFe2)^2 = 5,9 cdot pi cdot (0,122)^2 , temos:
(dFe2)^2 = 5,9 cdot (0,122)^2
Podemos cancelar e simplificar:

Passo 6

Resolvendo para dFe = raiz5,9 cdot 0,12 :
dFe approx 2,428 cdot 0,12 approx 0,291 , cm
Calculando:

Resposta

O diâmetro do fio de ferro deve ser aproximadamente para ter a mesma resistência de um fio de cobre de de diâmetro.

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