Quando um certo capacitor é descarregado sua carga varia em função do tempo de acordo com a relação:
a) -j 0 b exp (-b t)
q=q0 exp (-b t)
onde q0=0,02 C, b=4 s^-1 e t é dado em segundos. Determine: (a) a expressão da corrente em função do tempo, (b) o módulo da corrente para t=0, t=0,25 s, t^prime=10 se t=1 hora.
0,084
0,06 A ;-3,6 times 10^-6 A
zéle

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um capacitor que está descarregando, e a carga q = q0 exp(-b t) nesse capacitor varia com o tempo segundo a relação:
Onde:
  • é a carga inicial.
  • é uma constante.
  • é o tempo em segundos.
O que precisamos descobrir:
a) Qual é a expressão da corrente em função do tempo.
b) O módulo da corrente para , , e .
Para resolver isso, vamos lembrar de alguns conceitos de eletrodinâmica, principalmente sobre como a corrente está relacionada à variação da carga no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a corrente elétrica I(t) = dqdt está relacionada à taxa de variação da carga em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é representado pela derivada da carga em relação ao tempo:
Então, nosso próximo passo é calcular essa derivada a partir da expressão dada para .

Passo 3

Vamos derivar a expressão de q(t) = q0 exp(-b t) :
dqdt = -b q0 exp(-b t)
A derivada de I(t) = -b q0 exp(-b t) em relação a é:
Portanto, a expressão da corrente em função do tempo é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo da corrente nos tempos solicitados. O módulo da corrente é simplesmente o valor absoluto de |I(t)| = b q0 exp(-b t) :
|I(t)| = 4 , s^-1 times 0,02 , C times exp(-4 t)
Vamos substituir os valores de |I(t)| = 0,08 , A exp(-4 t) e |I(0)| = 0,08 , A times exp(0) = 0,08 , A times 1 = 0,08 , A :
|I(0,25)| = 0,08 , A times exp(-4 times 0,25) = 0,08 , A times exp(-1) approx 0,08 , A times 0,3679 approx 0,0294 , A
|I(10)| = 0,08 , A times exp(-4 times 10) = 0,08 , A times exp(-40) approx 0,08 , A times 4,25 times 10^-18 approx 3,4 times 10^-19 , A
Agora, calculamos para cada valor de |I(3600)| = 0,08 , A times exp(-4 times 3600) approx 0,08 , A times exp(-14400) approx 0 , A :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para (que são 3600 segundos):

Resposta

a) A expressão da corrente em função do tempo é:
I(t) = -0,08 , A exp(-4 t)
b) O módulo da corrente para os diferentes tempos é aproximadamente:
  • :
  • :
  • :
  • :

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