Um resistor de 3,00 M Omega e um capacitor de 1,00 mu F são ligados em série com uma fonte ideal de força eletromotriz mathscrE=4,00 V. Depois de transcorrido 1,00 s, determine (a) a taxa de aumento da carga do capacitor, (b) a taxa de armazenamento de energia no capacitor, © a taxa de dissipação de energia no capacitor e(d) a taxa de fornecimento de energia pela fonte.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um circuito que tem um resistor de e um capacitor de ligados em série com uma fonte ideal de . Depois de 1 segundo, precisamos descobrir:
a) A taxa de aumento da carga no capacitor,
b) A taxa de armazenamento de energia no capacitor,
c) A taxa de dissipação de energia no resistor,
d) A taxa de fornecimento de energia pela fonte.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos RC (Resistor-Capacitor) e algumas fórmulas de eletricidade básica. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que acontece em um circuito RC quando a fonte é ligada. O capacitor começa a carregar através do resistor, e a corrente no circuito diminui com o tempo à medida que o capacitor acumula carga.
A corrente I(t) = mathscrER e^-tRC no circuito em função do tempo é dada por:
Onde:
  • é a força eletromotriz da fonte ( ),
  • é a resistência ( ),
  • é a capacitância ( ),
  • é o tempo ( ).
Vamos calcular a corrente no instante de .

Passo 3

Primeiro, calculamos a constante de tempo tau = R times C = 3,00 times 10^6 , Omega times 1,00 times 10^-6 , F = 3,00 , s do circuito:
I(1,00, s) = 4,00 , V3,00 times 10^6 , Omega times e^-1,003,00 = 4,003,00 times 10^6 times e^-0,333
Agora, substituímos na equação da corrente:
e^-0,333 approx 0,717
Calculando I(1,00, s) = 4,003,00 times 10^6 times 0,717 approx 9,56 times 10^-7 , A :
Agora, a corrente:

Passo 4

Agora, vamos para a parte (a): a taxa de aumento da carga no capacitor. Essa taxa é igual à corrente que calculamos.
dQdt = I(t) approx 9,56 times 10^-7 , A

Passo 5

Passando para a parte (b): a taxa de armazenamento de energia no capacitor. A energia armazenada no capacitor é dada por:
UC = 12 C V^2
A taxa de variação da energia é:
dUCdt = C V dVdt
Mas sabemos que dUCdt = QC times I(t) , então:
Q(1,00, s) = 1,00 times 10^-6 , F times 4,00 , V times (1 - 0,717) approx 1,07 times 10^-6 , C
Usando dUCdt = 1,07 times 10^-61,00 times 10^-6 times 9,56 times 10^-7 approx 1,02 times 10^-6 , W :
Então:

Passo 6

Agora, parte ©: a taxa de dissipação de energia no resistor. A potência dissipada no resistor é dada por:
PR = I(t)^2 times R
Substituindo os valores:
PR = (9,56 times 10^-7 , A)^2 times 3,00 times 10^6 , Omega approx 2,74 times 10^-6 , W

Passo 7

Finalmente, a parte (d): a taxa de fornecimento de energia pela fonte. A potência fornecida pela fonte é:
Pfonte = mathscrE times I(t)
Substituindo:
Pfonte = 4,00 , V times 9,56 times 10^-7 , A approx 3,82 times 10^-6 , W

Resposta

a) A taxa de aumento da carga no capacitor é aproximadamente .
b) A taxa de armazenamento de energia no capacitor é cerca de .
c) A taxa de dissipação de energia no resistor é aproximadamente .
d) A taxa de fornecimento de energia pela fonte é cerca de .

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