Um resistor de
e um capacitor estão ligados em série, e então uma diferença de potencial de
é repentinamente aplicada entre as extremidades deles. A diferença de potencial entre as extremidades do capacitor aumenta para
em
. (b) Determine a capacitância do capacitor. R: (a)
; (b)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito com um resistor de
e um capacitor ligados em série. A gente aplica uma tensão de
e observa que a tensão no capacitor chega a
em
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a capacitância desse capacitor. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre circuitos RC (resistor-capacitor) e como a carga do capacitor evolui com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que num circuito RC em série, a carga no capacitor não aumenta instantaneamente. Em vez disso, ela cresce exponencialmente até atingir a tensão total aplicada. A rapidez com que isso acontece é determinada pela chamada constante de tempo do circuito, representada por
(tau).
Passo 3
A constante de tempo
é dada pela fórmula:
onde:
-
é a resistência em ohms ( ) -
é a capacitância em farads (F)
A tensão no capacitor em função do tempo (
) é dada por:
onde:
-
é a tensão no capacitor no tempo -
é a tensão total aplicada
Passo 4
Vamos usar esses conceitos para encontrar a capacitância
. Sabemos que:
Primeiro, vamos rearranjar a equação da tensão no capacitor para isolar a constante de tempo
:
Passo 5
Agora, substituindo os valores:
Primeiro, calculamos
.
Calculando o logaritmo:
Então:
Sabemos que
, então podemos rearranjar para encontrar
:
Substituindo:
Convertendo para pF (picoFarads):
Resposta
A capacitância do capacitor é de aproximadamente
.