Um resistor de 15 k Omega e um capacitor estão ligados em série, e então uma diferença de potencial de 12,0 V é repentinamente aplicada entre as extremidades deles. A diferença de potencial entre as extremidades do capacitor aumenta para 5,0 V em 1,30 mu s. (b) Determine a capacitância do capacitor. R: (a) 2,41 mu s; (b) 161 pF.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito com um resistor de 15,kOmega e um capacitor ligados em série. A gente aplica uma tensão de 12,V e observa que a tensão no capacitor chega a 5,V em 1,30,mus. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a capacitância desse capacitor. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre circuitos RC (resistor-capacitor) e como a carga do capacitor evolui com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que num circuito RC em série, a carga no capacitor não aumenta instantaneamente. Em vez disso, ela cresce exponencialmente até atingir a tensão total aplicada. A rapidez com que isso acontece é determinada pela chamada constante de tempo do circuito, representada por tau (tau).

Passo 3

A constante de tempo tau é dada pela fórmula:
tau = R cdot C
onde:
  • R é a resistência em ohms ( Omega)
  • C é a capacitância em farads (F)
A tensão no capacitor em função do tempo ( t) é dada por:
VC(t) = Vtotal (1 - e^-ttau)
onde:
  • VC(t) é a tensão no capacitor no tempo t
  • Vtotal é a tensão total aplicada

Passo 4

Vamos usar esses conceitos para encontrar a capacitância C. Sabemos que:
VC(t) = 5,V
Vtotal = 12,V
t = 1,30,mus = 1,30 times 10^-6,s
Primeiro, vamos rearranjar a equação da tensão no capacitor para isolar a constante de tempo tau:
VC(t)Vtotal = 1 - e^-ttau
e^-ttau = 1 - VC(t)Vtotal
-ttau = ln(1 - VC(t)Vtotal)
tau = -tln(1 - VC(t)Vtotal)

Passo 5

Agora, substituindo os valores:
tau = -1,30 times 10^-6,sln(1 - 512)
Primeiro, calculamos 1 - 512 = 712.
tau = -1,30 times 10^-6,sln(712)
Calculando o logaritmo:
ln(712) approx ln(0,5833) approx -0,5391
Então:
tau = -1,30 times 10^-6,s-0,5391 approx 1,30 times 10^-60,5391 approx 2,41 times 10^-6,s = 2,41,mus
Sabemos que tau = R cdot C, então podemos rearranjar para encontrar C:
C = tauR
Substituindo:
C = 2,41 times 10^-6,s15 times 10^3,Omega = 2,41 times 10^-615 times 10^3 approx 1,607 times 10^-10,F
Convertendo para pF (picoFarads):
1,F = 10^12,pF Rightarrow 1,607 times 10^-10,F = 160,7,pF

Resposta

A capacitância do capacitor é de aproximadamente 161,pF.

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