Um resistor de e um capacitor estão ligados em série, e então uma diferença de potencial de é repentinamente aplicada entre as extremidades deles. A diferença de potencial entre as extremidades do capacitor aumenta para em . (b) Determine a capacitância do capacitor. R: (a) ; (b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito com um resistor de e um capacitor ligados em série. A gente aplica uma tensão de e observa que a tensão no capacitor chega a em . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a capacitância desse capacitor. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre circuitos RC (resistor-capacitor) e como a carga do capacitor evolui com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que num circuito RC em série, a carga no capacitor não aumenta instantaneamente. Em vez disso, ela cresce exponencialmente até atingir a tensão total aplicada. A rapidez com que isso acontece é determinada pela chamada constante de tempo do circuito, representada por (tau).

Passo 3

A constante de tempo é dada pela fórmula:
onde:
  • é a resistência em ohms ( )
  • é a capacitância em farads (F)
A tensão no capacitor em função do tempo ( ) é dada por:
onde:
  • é a tensão no capacitor no tempo
  • é a tensão total aplicada

Passo 4

Vamos usar esses conceitos para encontrar a capacitância . Sabemos que:
Primeiro, vamos rearranjar a equação da tensão no capacitor para isolar a constante de tempo :

Passo 5

Agora, substituindo os valores:
Primeiro, calculamos .
Calculando o logaritmo:
Então:
Sabemos que , então podemos rearranjar para encontrar :
Substituindo:
Convertendo para pF (picoFarads):

Resposta

A capacitância do capacitor é de aproximadamente .

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