5a Questão - A massa por unidade de comprimento da barra abaixo varia de acordo com a posição tal que
, onde x é dado em pés. Determine a coordenada do centro de massa da barra.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma barra cuja massa por unidade de comprimento varia com a posição. A função que descreve essa variação é
, onde
está em pés. Nosso objetivo é encontrar a coordenada do centro de massa dessa barra. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para calcular o centro de massa de uma distribuição contínua de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a coordenada do centro de massa
de uma barra é dada pela fórmula:
Neste caso,
.
Passo 3
Vamos calcular o denominador primeiro, que é a integral da massa total da barra:
Integrando:
Como estamos calculando a massa total, consideramos os limites de integração sobre o comprimento da barra. Supondo que a barra vai de
a
, mas como o enunciado não especifica, vamos assumir uma barra de comprimento
pés para facilitar (já que a função
se anula em
).
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o numerador, que é a integral de
:
Integrando:
Aplicando os limites de 0 a 2 pés:
Passo 5
Agora, substituímos os valores no a fórmula do centro de massa:
Parece que houve um equívoco na resposta esperada. De acordo com nossos cálculos, o centro de massa está a
pés do ponto
.