Qual é a capacitância de uma gota formada pela fusão de duas gotas esféricas de mercúrio com 2,00 mm de raio?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é: Qual é a capacitância de uma gota formada pela fusão de duas gotas esféricas de mercúrio com 2,00 mm de raio?
Aqui, estamos lidando com conceitos de capacitância em física, especificamente relacionada a esferas condutoras. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a capacitância de uma esfera e como o raio muda quando duas gotas se fundem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da capacitância para uma esfera isolada. A capacitância C = 4pivarepsilon0 varepsilonr R de uma esfera é dada por:
Onde:
  • é uma constante (~3,1416),
  • é a permissividade do vácuo ( ),
  • é a permissividade relativa do material (para o mercúrio, assumiremos que ),
  • é o raio da esfera.

Passo 3

Agora, vamos determinar o novo raio da gota formada pela fusão de duas gotas. Quando duas esferas de mesmo tamanho se fundem, o volume total é a soma dos volumes individuais. A fórmula do volume de uma esfera é:
V = 43pi R^3
Então, para duas gotas:
Vtotal = 2 times 43pi R^3 = 83pi R^3
A gota resultante terá um volume igual a Vgota única = 43pi R'^3 = 83pi R^3 :
R'^3 = 2R^3 implies R' = R times raiz[3]2 approx 1,26R ú
Resolvendo para :

Passo 4

Sabemos que o raio original de cada gota é R' = 2,00 , mm times 1,26 = 2,52 , mm . Então, o novo raio após a fusão será:
R' = 2,52 , mm = 2,52 times 10^-3 , m
Convertendo para metros:

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da capacitância:
C = 4pivarepsilon0 varepsilonr R'
Considerando C = 4pi times 8,85 times 10^-12 , F/m times 2,52 times 10^-3 , m para o mercúrio:

Passo 6

Fazendo as contas:
C = 4 times 3,1416 times 8,85 times 10^-12 times 2,52 times 10^-3
C approx 4 times 3,1416 times 8,85 times 2,52 times 10^-15
C approx 2,81 times 10^-13 , F

Resposta

A capacitância da gota resultante é aproximadamente .

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