Um resistor de 15,2 k Omega e um capacitor são conectados em série e um potencial de 13 V é aplicado repentinamente. O potencial entre os terminais do capacitor aumenta para 5 V em 1,28 mu s. (a) Calcule a constante de tempo. (b) Encontre a capacitância do capacitor. (2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um circuito com um resistor de 15,2 , kOmega e um capacitor conectados em série. Quando aplicamos uma tensão de 13 V de repente, a tensão no capacitor sobe para 5 V em 1,28 , mu s. A gente precisa calcular duas coisas: a constante de tempo do circuito e a capacitância do capacitor. Para isso, vamos usar os conceitos de circuitos RC, que envolvem resistores e capacitores em série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a constante de tempo ( tau) em um circuito RC. A constante de tempo é definida por:
tau = R times C
Onde:
  • R é a resistência em ohms ( Omega)
  • C é a capacitância em farads (F)
Essa constante nos diz quão rápido o capacitor vai carregar ou descarregar no circuito.

Passo 3

A próxima coisa é entender como a tensão no capacitor varia com o tempo durante o carregamento. A equação que descreve isso é:
Vc(t) = V0 (1 - e^-ttau)
Onde:
  • Vc(t) é a tensão no capacitor no tempo t
  • V0 é a tensão inicial aplicada
  • e é a base do logaritmo natural
  • tau é a constante de tempo

Passo 4

Vamos usar essa equação para encontrar a constante de tempo. Sabemos que:
  • V0 = 13 , V
  • Vc(t) = 5 , V
  • t = 1,28 , mu s = 1,28 times 10^-6 , s
Substituindo esses valores na equação:
5 = 13 (1 - e^-1,28 times 10^-6tau)

Passo 5

Vamos resolver para e^-1,28 times 10^-6tau:
513 = 1 - e^-1,28 times 10^-6tau e^-1,28 times 10^-6tau = 1 - 513 e^-1,28 times 10^-6tau = 813

Passo 6

Agora, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados para resolver para tau:
-1,28 times 10^-6tau = ln(813) 1,28 times 10^-6tau = -ln(813) tau = 1,28 times 10^-6-ln(813)
Calculando o valor de ln(813):
ln(813) approx ln(0,6154) approx -0,485
Então:
tau = 1,28 times 10^-60,485 approx 2,64 times 10^-6 , s , ou , 2,64 , mu s

Passo 7

Agora que temos tau, podemos encontrar a capacitância C usando a relação tau = R times C. Sabemos que R = 15,2 , kOmega = 15,2 times 10^3 , Omega.
Rearranjando a fórmula para C:
C = tauR = 2,64 times 10^-615,2 times 10^3 approx 1,737 times 10^-10 , F , ou , 173,7 , pF

Resposta

(a) A constante de tempo do circuito é aproximadamente tau = 2,64 , mu s.
(b) A capacitância do capacitor é aproximadamente C = 173,7 , pF.

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