Se A=3 i-j-4 k, B=-2 i+4 j-3 k e C=i+2 j-k, obter: (a) 2 A-B+3 C; (b) |A+B+C|; © |3 A-2 B+4 C|; (d) um vetor unitário paralelo a D=3 A-2 B+4 C. Respostas: (a) 11 i-8 k; (b) raiz93; © D=raiz398; (d) d=DD=3 A-2 B+4 Craiz398

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! O enunciado nos dá três vetores: A, B e C. Vamos precisar usar operações básicas com vetores, como adição, subtração e multiplicação por escalar, além de entender como calcular o módulo de um vetor e como encontrar um vetor unitário. Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Calcular 2 A - B + 3 C
Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar um vetor por um número (escalar). Quando multiplicamos um vetor por um escalar, cada componente do vetor é multiplicada por esse número.
Vamos fazer isso passo a passo:
  1. Multiplicar A por 2:
    2 A = 2(3 i - j - 4 k) = 6 i - 2 j - 8 k
  2. Multiplicar C por 3:
    3 C = 3(i + 2 j - k) = 3 i + 6 j - 3 k
  3. Subtrair B:
    -B = -(-2 i + 4 j - 3 k) = 2 i - 4 j + 3 k
  4. Somar tudo:
    2 A - B + 3 C = (6 i - 2 j - 8 k) + (2 i - 4 j + 3 k) + (3 i + 6 j - 3 k)
    = (6 + 2 + 3) i + (-2 -4 +6) j + (-8 +3 -3) k
    = 11 i + 0 j -8 k
    = 11 i - 8 k

Passo 3

Parte (b): Calcular o módulo de A + B + C, ou seja, |A + B + C|
O módulo de um vetor é como medir o comprimento dele. Para encontrar o módulo, usamos a fórmula:
|V| = raizVx^2 + Vy^2 + Vz^2
onde Vx, Vy, e Vz são as componentes do vetor V.
Primeiro, vamos somar os vetores:
A + B + C = (3 i - j -4 k) + (-2 i +4 j -3 k) + (i +2 j - k)
= (3 -2 +1) i + (-1 +4 +2) j + (-4 -3 -1) k
= 2 i + 5 j -8 k
Agora, calculamos o módulo:
|A + B + C| = raiz2^2 + 5^2 + (-8)^2 = raiz4 + 25 + 64 = raiz93

Passo 4

Parte ©: Calcular o módulo de 3 A - 2 B + 4 C, ou seja, |3 A - 2 B + 4 C|
Vamos seguir o mesmo processo da parte (b).
Primeiro, multiplicamos cada vetor pelos escalar correspondente:
  1. Multiplicar A por 3:
    3 A = 3(3 i - j -4 k) = 9 i -3 j -12 k
  2. Multiplicar B por -2:
    -2 B = -2(-2 i +4 j -3 k) = 4 i -8 j +6 k
  3. Multiplicar C por 4:
    4 C = 4(i +2 j - k) = 4 i +8 j -4 k
Agora, somamos tudo:
3 A - 2 B + 4 C = (9 i -3 j -12 k) + (4 i -8 j +6 k) + (4 i +8 j -4 k)
= (9 +4 +4) i + (-3 -8 +8) j + (-12 +6 -4) k
= 17 i -3 j -10 k
Calculando o módulo:
|3 A - 2 B + 4 C| = raiz17^2 + (-3)^2 + (-10)^2 = raiz289 + 9 + 100 = raiz398

Passo 5

Parte (d): Encontrar um vetor unitário paralelo a D = 3 A - 2 B + 4 C
Um vetor unitário tem módulo igual a 1 e aponta na mesma direção do vetor original. Para encontrar um vetor unitário d paralelo a D, usamos a fórmula:
d = D|D|
Já calculamos D = 3 A - 2 B + 4 C = 17 i -3 j -10 k e |D| = raiz398.
Portanto:
d = 17 i -3 j -10 kraiz398

Resposta

(a) 2 A - B + 3 C = 11 i - 8 k
(b) |A + B + C| = raiz93
© |3 A - 2 B + 4 C| = raiz398
(d) Um vetor unitário paralelo a D é d = 3 A - 2 B + 4 Craiz398

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