a. Aplicando a lei de Gauss, determine a intensidade, direção e sentido do campo elétrico entre os condutores.
b. Calcule a diferença de potencial entre os condutores através da integral de linha do campo elétrico.
c. Determine a capacitância do capacitor esférico em função de seu dimensionamento.
Um capacitor esférico contém carga de 3,30 nC, quando está conectado a uma diferença de potencial de 220 V. Supondo que os condutores estejam separados por vácuo e o raio interno da casca externa seja igual a 4,00 cm, calcule:
d. A capacitância deste capacitor.
e. O raio da esfera interna.
f. O campo elétrico próximo à superfície da esfera interna.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um capacitor esférico com uma carga de ligado a uma diferença de potencial de 220 V. Os condutores estão separados por vácuo e o raio interno da casca externa é de 4,00 cm. Vamos calcular:
d. A capacitância desse capacitor.
e. O raio da esfera interna.
f. O campo elétrico próximo à superfície da esfera interna.

Passo 2

Parte d: Calculando a Capacitância do Capacitor
Primeiro, precisamos lembrar que a capacitância ( C = 4pivarepsilon0 rint rextrext - rint ) de um capacitor esférico é dada pela fórmula:
C = QV
Onde:
  • C = 3,30 times 10^-9 , C220 , V approx 1,5 times 10^-11 , F , (ou 15 pF) é a permissividade do vácuo ( ),
  • é o raio da esfera interna,
  • é o raio da casca externa.
Entretanto, como precisamos encontrar e ainda não conhecemos , vamos usar a relação entre carga ( ), capacitância e diferença de potencial ( ):
Substituindo os valores:

Passo 3

Parte e: Determinando o Raio da Esfera Interna
Agora que temos a capacitância, podemos rearranjar a fórmula da capacitância do capacitor esférico para encontrar C = 4pivarepsilon0 rint rextrext - rint :
C (rext - rint) = 4pivarepsilon0 rint rext
Sabemos que C rext - C rint = 4pivarepsilon0 rint rext e C rext = rint (C + 4pivarepsilon0 rext) . Vamos isolar rint = C rextC + 4pivarepsilon0 rext :
rint = 1,5 times 10^-11 times 0,041,5 times 10^-11 + 4pi times 8,85 times 10^-12 times 0,04
1,5 times 10^-11 + 4pi times 8,85 times 10^-12 times 0,04 approx 1,5 times 10^-11 + 4,45 times 10^-12 approx 1,945 times 10^-11
rint approx 6 times 10^-131,945 times 10^-11 approx 0,0308 , m , (ou 3,08 cm)
Substituindo os valores:
Calculando o denominador:
Então:

Passo 4

Parte f: Calculando o Campo Elétrico Próximo à Superfície da Esfera Interna
O campo elétrico ( E = 14pivarepsilon0 cdot Qrint^2 ) próximo à superfície da esfera interna de um capacitor esférico é dado por:
E = 14pi times 8,85 times 10^-12 cdot 3,30 times 10^-9(0,0308)^2
Já temos E approx 8,99 times 10^9 cdot 3,30 times 10^-90,0009486 approx 8,99 times 10^9 cdot 3,48 times 10^3 approx 3,13 times 10^13 , V/m e , então:
Calculando:

Resposta

d. A capacitância do capacitor é aproximadamente (15 pF).
e. O raio da esfera interna é cerca de 3,08 cm.
f. O campo elétrico próximo à superfície da esfera interna é aproximadamente .

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