Um resistor de
e um capacitor são ligados em série e uma diferença de potencial de
é aplicada bruscamente ao conjunto. A diferença de potencial entre os terminais do capacitor aumenta para
em
. (a) Calcule a constante de tempo do circuito. (b) Determine a capacitância C do capacitor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito com um resistor de
e um capacitor ligados em série. Quando aplicamos uma diferença de potencial de
de repente, a tensão no capacitor sobe para
em
. Vamos usar conceitos de circuitos RC (Resistor-Capacitor) para resolver:
- Conteúdo da matéria: Circuitos elétricos com resistores e capacitores em série.
- O que vamos precisar: Fórmula da constante de tempo (
) e a equação da carga no capacitor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a constante de tempo do circuito, que é dada por:
Onde:
-
é a constante de tempo, -
é a resistência, -
é a capacitância.
A constante de tempo nos diz quanto tempo leva para a tensão no capacitor alcançar aproximadamente 63,2% do valor máximo após a aplicação da tensão.
Passo 3
Sabemos que a tensão no capacitor em função do tempo é dada por:
Onde:
-
é a tensão no capacitor no tempo , -
é a tensão da fonte, -
é a base do logaritmo natural.
Queremos encontrar
quando
em
.
Passo 4
Vamos substituir os valores na equação:
Primeiro, dividimos ambos os lados por 12,0:
Passo 5
Isolando o termo exponencial:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para
:
[
-\frac{1,30 \times 10^{-3}}{\tau} = -0,539
-\frac{1,30 \times 10^{-3}}{\tau} = -0,539
]
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, isolamos
:
Passo 7
Agora que temos a constante de tempo
, podemos usar a relação
para encontrar a capacitância
:
Resposta
(a) A constante de tempo do circuito é aproximadamente
.
(b) A capacitância do capacitor é aproximadamente
.