Um resistor de 15,0 Omega e um capacitor são ligados em série e uma diferença de potencial de 12,0 V é aplicada bruscamente ao conjunto. A diferença de potencial entre os terminais do capacitor aumenta para 5,00 V em 1,30 ms. (a) Calcule a constante de tempo do circuito. (b) Determine a capacitância C do capacitor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito com um resistor de e um capacitor ligados em série. Quando aplicamos uma diferença de potencial de de repente, a tensão no capacitor sobe para em . Vamos usar conceitos de circuitos RC (Resistor-Capacitor) para resolver:
  • Conteúdo da matéria: Circuitos elétricos com resistores e capacitores em série.
  • O que vamos precisar: Fórmula da constante de tempo ( ) e a equação da carga no capacitor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a constante de tempo do circuito, que é dada por:
tau = R times C
Onde:
  • é a constante de tempo,
  • é a resistência,
  • é a capacitância.
A constante de tempo nos diz quanto tempo leva para a tensão no capacitor alcançar aproximadamente 63,2% do valor máximo após a aplicação da tensão.

Passo 3

Sabemos que a tensão no capacitor em função do tempo é dada por:
VC(t) = V times (1 - e^-ttau)
Onde:
  • é a tensão no capacitor no tempo ,
  • é a tensão da fonte,
  • é a base do logaritmo natural.
Queremos encontrar quando em .

Passo 4

Vamos substituir os valores na equação:
5,00 = 12,0 times (1 - e^-1,30 times 10^-3tau)
Primeiro, dividimos ambos os lados por 12,0:
5,0012,0 = 1 - e^-1,30 times 10^-3tau
0,4167 = 1 - e^-1,30 times 10^-3tau

Passo 5

Isolando o termo exponencial:
e^-1,30 times 10^-3tau = 1 - 0,4167 = 0,5833
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para -1,30 times 10^-3tau = ln(0,5833) :
-1,30 times 10^-3tau = -0,539
[
-\frac{1,30 \times 10^{-3}}{\tau} = -0,539
]

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 1,30 times 10^-3 = 0,539 times tau :
tau = 1,30 times 10^-30,539 approx 2,414 times 10^-3, s
Agora, isolamos tau approx 2,414, ms :

Passo 7

Agora que temos a constante de tempo C = tauR = 2,414 times 10^-315,0 approx 1,61 times 10^-4, F , podemos usar a relação C approx 161, mu F para encontrar a capacitância :

Resposta

(a) A constante de tempo do circuito é aproximadamente .
(b) A capacitância do capacitor é aproximadamente .

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