Dois fios metálicos, de densidades lineares de massa, estão soldados em x=0 e estão sob tensão constante. Uma onda yi n está incidente na junção dos dois, vinda da esquerda em x=0, onde
yin=Ain cos (k1 x-omega t)
Esta onda está parcialmente refletida e parcialmente transmitida em x= 0. A onda transmitida
yt=At cos (k2 x-omega t)
desloca-se para a direita em x>0. A onda refletida
yr=Ar cos (k1 x+omega t)
desloca-se para a esquerda em x<0. As condições de contorno em x= 0 sãq as da continuidade do deslocamento resultante e do coeficiente angular resultante partial y / partial x. (a) Achar a amplitude das ondas refletidas e transinitidas. (b) Verificar que a energia mecânica é conservada. © Se o fio em x>0 for mais denso que o fio em x<0, achar a mudança de fase entre a onda incidente e a onda refletida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre ondas em dois fios metálicos diferentes, soldados juntos em . A onda que chega na junção se divide em duas partes: uma refletida e outra transmitida. A matéria envolvida aqui é ondas mecânicas em meios contínuos, especialmente reflexão e transmissão em interfaces. Para resolver a parte (a), precisamos achar as amplitudes das ondas refletida ( ) e transmitida ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que nas interfaces entre dois meios diferentes, duas condições precisam ser satisfeitas para que a solução seja física:
  1. Continuidade do deslocamento: A posição das partículas na junção deve ser a mesma, ou seja, a soma das ondas incidentes e refletidas deve igualar a onda transmitida em .
  2. Continuidade da derivada espacial do deslocamento: Isso está relacionado à continuidade da tensão no ponto de junção. A derivada de em relação a deve ser a mesma para as ondas incidentes e refletidas e para a transmitida.

Passo 3

Vamos escrever as equações das ondas:
  • Onda incidente:
    yin = Ain cos(k1 x - omega t)
  • Onda refletida:
    yr = Ar cos(k1 x + omega t)
  • Onda transmitida:
    yt = At cos(k2 x - omega t)
Note que e são os números de onda nos respectivos fios, e é a frequência angular comum.

Passo 4

Aplicando a condição de continuidade do deslocamento em yin(0, t) + yr(0, t) = yt(0, t) :
Ain cos(-omega t) + Ar cos(omega t) = At cos(-omega t)
Substituindo Ain cos(omega t) + Ar cos(omega t) = At cos(omega t) :
Ain + Ar = At
Como , simplificamos:
Dividindo ambos os lados por (assumindo que ):

Passo 5

Agora, aplicamos a condição de continuidade da derivada espacial do deslocamento em partial yinpartial x|x=0 + partial yrpartial x|x=0 = partial ytpartial x|x=0 :
partial yinpartial x = -Ain k1 sin(k1 x - omega t)
Calculando as derivadas:
partial yrpartial x = -Ar k1 sin(k1 x + omega t)
partial ytpartial x = -At k2 sin(k2 x - omega t)
-Ain k1 sin(-omega t) - Ar k1 sin(omega t) = -At k2 sin(-omega t)
Avaliando em Ain k1 sin(omega t) - Ar k1 sin(omega t) = At k2 sin(omega t) :
Ain k1 - Ar k1 = At k2
Usando Ain k1 - Ar k1 = At k2 :
Dividindo ambos os lados por (assumindo que ):
Ou seja:

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. Ain k1 - Ar k1 = (Ain + Ar) k2
  2. Ain k1 - Ar k1 = Ain k2 + Ar k2
Podemos substituir - Ar k1 - Ar k2 = Ain k2 - Ain k1 da primeira equação na segunda:
Ar (-k1 - k2) = Ain (k2 - k1)
Expandindo:
Ar = Ain (k2 - k1)-k1 - k2 = Ain ( k2 - k1 - (k1 + k2) ) = Ain ( k1 - k2k1 + k2 )
Rearranjando os termos com :
Fatorando :
Isolando :

Passo 7

Agora que temos At = Ain + Ar = Ain + Ain ( k1 - k2k1 + k2 ) = Ain ( 1 + k1 - k2k1 + k2 ) , podemos encontrar At = Ain ( (k1 + k2) + (k1 - k2) k1 + k2 ) = Ain ( 2 k1k1 + k2 ) usando a primeira equação:
Simplificando:

Resposta

As amplitudes das ondas refletida e transmitida são, respectivamente:
Ar = Ain ( k1 - k2k1 + k2 )
At = Ain ( 2 k1k1 + k2 )

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