Dois fios metálicos, de densidades lineares de massa, estão soldados em e estão sob tensão constante. Uma onda está incidente na junção dos dois, vinda da esquerda em , onde
Esta onda está parcialmente refletida e parcialmente transmitida em 0. A onda transmitida
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre ondas em dois fios metálicos diferentes, soldados juntos em . A onda que chega na junção se divide em duas partes: uma refletida e outra transmitida. A matéria envolvida aqui é ondas mecânicas em meios contínuos, especialmente reflexão e transmissão em interfaces. Para resolver a parte (a), precisamos achar as amplitudes das ondas refletida () e transmitida ().
Passo 2
Primeiro, vamos entender que nas interfaces entre dois meios diferentes, duas condições precisam ser satisfeitas para que a solução seja física:
Continuidade do deslocamento: A posição das partículas na junção deve ser a mesma, ou seja, a soma das ondas incidentes e refletidas deve igualar a onda transmitida em .
Continuidade da derivada espacial do deslocamento: Isso está relacionado à continuidade da tensão no ponto de junção. A derivada de em relação a deve ser a mesma para as ondas incidentes e refletidas e para a transmitida.
Passo 3
Vamos escrever as equações das ondas:
Onda incidente:
Onda refletida:
Onda transmitida:
Note que e são os números de onda nos respectivos fios, e é a frequência angular comum.
Passo 4
Aplicando a condição de continuidade do deslocamento em :
Substituindo :
Como , simplificamos:
Dividindo ambos os lados por (assumindo que ):
Passo 5
Agora, aplicamos a condição de continuidade da derivada espacial do deslocamento em :
Avaliando em Ain k1 sin(omega t) - Ar k1 sin(omega t) = At k2 sin(omega t) :
Ain k1 - Ar k1 = At k2
Usando Ain k1 - Ar k1 = At k2 :
Dividindo ambos os lados por (assumindo que ):
Ou seja:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações:
Ain k1 - Ar k1 = (Ain + Ar) k2
Ain k1 - Ar k1 = Ain k2 + Ar k2
Podemos substituir - Ar k1 - Ar k2 = Ain k2 - Ain k1 da primeira equação na segunda:
Ar (-k1 - k2) = Ain (k2 - k1)
Expandindo:
Ar = Ain (k2 - k1)-k1 - k2 = Ain ( k2 - k1 - (k1 + k2) ) = Ain ( k1 - k2k1 + k2 )
Rearranjando os termos com :
Fatorando :
Isolando :
Passo 7
Agora que temos At = Ain + Ar = Ain + Ain ( k1 - k2k1 + k2 ) = Ain ( 1 + k1 - k2k1 + k2 ) , podemos encontrar At = Ain ( (k1 + k2) + (k1 - k2) k1 + k2 ) = Ain ( 2 k1k1 + k2 ) usando a primeira equação:
Simplificando:
Resposta
As amplitudes das ondas refletida e transmitida são, respectivamente: