Um resistor de 15,0 k Omega e um capacitor são ligados em série e, a seguir, uma diferença de potencial de 12,0 V é aplicada através deles. A diferença de potencial através do capacitor sobe para 5,00V em 1,30 s. (a) Calcular a constante de tempo do circuito. (b) Determine a capacitância do capacitor.
Resp.:(a)2,41 4 s ; (b) 161pF

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um circuito com um resistor de 15,0 kOmega e um capacitor ligados em série. Quando aplicamos uma diferença de potencial de 12,0 V, a tensão no capacitor sobe para 5,00 V em 1,30 s. Vamos usar isso para calcular duas coisas:
(a) A constante de tempo do circuito.
(b) A capacitância do capacitor.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre circuitos RC (Resistor-Capacitor) e como a tensão no capacitor muda com o tempo.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a), calcular a constante de tempo do circuito.
Em um circuito RC, a tensão no capacitor ao longo do tempo é dada pela fórmula:
VC(t) = V (1 - e^-t/tau)
Onde:
  • VC(t) é a tensão no capacitor no tempo t.
  • V é a tensão total aplicada.
  • tau é a constante de tempo do circuito.
  • e é a base do logaritmo natural.
Queremos encontrar tau. Sabemos que:
  • VC(t) = 5,00 V
  • V = 12,0 V
  • t = 1,30 s
Vamos substituir esses valores na fórmula:
5 = 12 (1 - e^-1,30/tau)
Primeiro, vamos dividir ambos os lados por 12:
512 = 1 - e^-1,30/tau
Subtraindo 1 de ambos os lados:
512 - 1 = -e^-1,30/tau
-712 = -e^-1,30/tau
Então:
712 = e^-1,30/tau
Agora, aplicando o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para tau:
ln(712) = -1,30tau
Isolando tau:
tau = -1,30ln(712)
Calculando o valor numérico:
tau approx -1,30ln(0,5833) approx -1,30-0,5391 approx 2,41 s

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b), determinar a capacitância do capacitor.
Sabemos que a constante de tempo tau é dada por:
tau = R cdot C
Onde:
  • R é a resistência.
  • C é a capacitância.
Já calculamos tau = 2,41 s e sabemos que R = 15,0 kOmega = 15.000 Omega.
Vamos isolar C:
C = tauR = 2,4115.000 approx 0,0001607 F
Convertendo para picofarads (1 F = 10^12 pF):
C approx 160,7 pF
Arredondando, temos C approx 161 pF.

Resposta

(a) A constante de tempo do circuito é aproximadamente 2,41 s.
(b) A capacitância do capacitor é 161 pF.

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