Nove fios de cobre de comprimento l e diâmetro d estão ligados em paralelo formando um único condutor composto de resistência R. Qual deverá ser o diâmetro D de um único fio de cobre de comprimento l, para que ele tenha a mesma resistência? Resp.: 3 d.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre resistência elétrica em fios de cobre. A gente tem 9 fios iguais, cada um com comprimento l e diâmetro d, ligados em paralelo, e a resistência total desse grupo é R. A pergunta é: qual deve ser o diâmetro D de um único fio com o mesmo comprimento l para ter essa mesma resistência R? Para resolver isso, vamos precisar entender como a resistência depende do comprimento, da área da seção transversal dos fios e de como a resistência se comporta quando os fios estão ligados em paralelo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da resistência elétrica de um fio. A resistência R de um fio é dada por:
R = rho lA
onde:
  • rho é a resistividade do material (no caso, cobre),
  • l é o comprimento do fio,
  • A é a área da seção transversal do fio.
Como estamos comparando fios de cobre, a resistividade rho é a mesma para todos.

Passo 3

Agora, vamos expressar a área da seção transversal A em termos do diâmetro d do fio. A área de um círculo é:
A = pi (d2)^2 = pi d^24
Então, substituindo na fórmula da resistência:
R = rho lpi d^24 = 4 rho lpi d^2

Passo 4

Quando temos múltiplos fios ligados em paralelo, a resistência total Rpara<=lo é dada por:
1Rpara<=lo = sumi=1^n 1Ri
Como os 9 fios são iguais, a resistência de cada um é a mesma, então:
1Rpara<=lo = 9Rsimp<=s
Isso implica que:
Rpara<=lo = Rsimp<=s9
No enunciado, Rpara<=lo = R, então:
R = Rsimp<=s9
Ou seja, a resistência de um único fio seria 9R.

Passo 5

Agora, queremos encontrar o diâmetro D de um único fio que tenha resistência R. Usando a fórmula da resistência para esse único fio:
R = 4 rho lpi D^2
Comparando com a resistência de um único dos 9 fios:
9R = 4 rho lpi d^2
Podemos igualar as duas expressões:
4 rho lpi D^2 = R
4 rho lpi d^2 = 9R
Assim, temos:
D^2 = d^29
D = 3d

Resposta

D = 3,d

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