Nove fios de cobre de comprimento
e diâmetro
estão ligados em paralelo formando um único condutor composto de resistência
. Qual deverá ser o diâmetro
de um único fio de cobre de comprimento
, para que ele tenha a mesma resistência? Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre resistência elétrica em fios de cobre. A gente tem 9 fios iguais, cada um com comprimento
e diâmetro
, ligados em paralelo, e a resistência total desse grupo é
. A pergunta é: qual deve ser o diâmetro
de um único fio com o mesmo comprimento
para ter essa mesma resistência
? Para resolver isso, vamos precisar entender como a resistência depende do comprimento, da área da seção transversal dos fios e de como a resistência se comporta quando os fios estão ligados em paralelo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da resistência elétrica de um fio. A resistência
de um fio é dada por:
onde:
-
é a resistividade do material (no caso, cobre), -
é o comprimento do fio, -
é a área da seção transversal do fio.
Como estamos comparando fios de cobre, a resistividade
é a mesma para todos.
Passo 3
Agora, vamos expressar a área da seção transversal
em termos do diâmetro
do fio. A área de um círculo é:
Então, substituindo na fórmula da resistência:
Passo 4
Quando temos múltiplos fios ligados em paralelo, a resistência total
é dada por:
Como os 9 fios são iguais, a resistência de cada um é a mesma, então:
Isso implica que:
No enunciado,
, então:
Ou seja, a resistência de um único fio seria
.
Passo 5
Agora, queremos encontrar o diâmetro
de um único fio que tenha resistência
. Usando a fórmula da resistência para esse único fio:
Comparando com a resistência de um único dos 9 fios:
Podemos igualar as duas expressões:
Assim, temos: