Um resistor de 30 Omega, uma reatância indutiva de 15 Omega e uma reatância capacitiva de 12 Omega estão ligados em paralelo através de uma linha de 120 V e 60 Hz. Calcule (a) os fasores das correntes nos ramos, (b) a corrente total e o ângulo de fase, © a impedância, (d) a potência consumida pelo circuito e (e) desenhe o diagrama de fasores para a corrente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um circuito com três componentes ligados em paralelo: um resistor de , uma reatância indutiva de e uma reatância capacitiva de . A fonte que está alimentando esse circuito tem uma tensão de e uma frequência de .
Para resolver os itens do exercício, vamos precisar entender conceitos de circuitos AC, como fasores de corrente, impedância total, potência e diagramas de fasores. Vamos passo a passo, explicando cada conceito conforme avançamos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os fasores das correntes em cada ramo do circuito.
Em circuitos em paralelo, a tensão é a mesma em todos os ramos. Então, a corrente em cada componente dependerá da sua impedância.
  • Resistor ( IR = VR = 120,V30,Omega = 4,A ): A corrente no resistor está em fase com a tensão. Usamos a Lei de Ohm:
    IL = VXL = 120,V15,Omega = 8,A
    Como não há defasagem, o fasor da corrente do resistor é IC = VXC = 120,V12,Omega = 10,A .
  • Reatância Indutiva ( ): A corrente no indutor fica defasada atrás da tensão (ângulo negativo):
    O fasor da corrente indutiva é .
  • Reatância Capacitiva ( ): A corrente no capacitor fica defasada à frente da tensão (ângulo positivo):
    O fasor da corrente capacitiva é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a corrente total e o ângulo de fase.
Como estamos lidando com fasores, precisamos somar vetorialmente as correntes nos ramos.
Temos:
  • IR &= 4,A cos(0^circ) + j4,A sin(0^circ) = 4,A + j0,A IL &= 8,A cos(-90^circ) + j8,A sin(-90^circ) = 0,A - j8,A IC &= 10,A cos(90^circ) + j10,A sin(90^circ) = 0,A + j10,A
  • Itotal, real &= 4,A + 0,A + 0,A = 4,A Itotal, imaginária &= 0,A - 8,A + 10,A = 2,A
  • Itotal = 4,A + j2,A
Primeiro, vamos decompor essas correntes em componentes reais e imaginárias:
|Itotal| = raiz4^2 + 2^2 = raiz16 + 4 = raiz20 approx 4,47,A
Somando as componentes:
theta = tan^-1(24) approx 26,57^circ á
Então, a corrente total é:
Para encontrar a magnitude e o ângulo:
Então, a corrente total é aproximadamente .

Passo 4

Vamos calcular a impedância total do circuito.
Em circuitos em paralelo, a impedância total 1Z = 1R + 1jXL + 1-jXC pode ser encontrada usando a fórmula:
1Z = 130 + 1j15 - 1j12
Simplificando:
1jX = -j1X
Vamos converter para componentes reais e imaginárias:
1Z = 130 + (-j115) + (j112) = 130 + j(112 - 115)
Então:
112 - 115 = 5 - 460 = 160
Calculando:
1Z = 130 + j160
Então:
1Z = 0,0333 + j0,0167, S
Em termos reais e imaginários:
Z = 10,0333 + j0,0167
Para achar Z = 1 cdot (0,0333 - j0,0167)(0,0333)^2 + (0,0167)^2 approx 0,0333 - j0,01670,00111 + 0,00028 approx 0,0333 - j0,01670,00139 approx 24,Omega ang<= -26,57^circ , tomamos o inverso:
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
Portanto, a impedância total é aproximadamente .

Passo 5

Vamos calcular a potência consumida pelo circuito.
A potência em circuitos AC pode ser calculada usando a fórmula:
P = V cdot I cdot cos(phi)
Onde:
  • P = 120,V times 4,47,A times cos(26,57^circ) é a tensão,
  • P approx 120 times 4,47 times 0,8944 approx 480,W é a corrente total,
  • é o ângulo de fase.
Calculando:
Sabemos que .
Então:
Portanto, a potência consumida pelo circuito é de aproximadamente .

Passo 6

Por fim, vamos desenhar o diagrama de fasores para a corrente.
No diagrama de fasores:
  • A corrente no resistor está representada ao longo do eixo real (sem defasagem).
  • A corrente indutiva está representada na direção negativa do eixo imaginário (abaixo).
  • A corrente capacitiva está na direção positiva do eixo imaginário (acima).
  • A corrente total é a soma vetorial dessas correntes.
Visualmente:
Imaginário (+) |         I_C = 10 A
               |
               |
               |                     I_total ≈ 4,47∠26,57°
               |
               |
--------------|----------------------------- Reais (+)
               |
               |
               |         I_R = 4 A
               |
               |
          I_L = 8 A
No diagrama, você verá os vetores representando cada corrente, com a corrente total resultante formando um ângulo de aproximadamente em relação ao eixo real.

Resposta

(a) Fasores das correntes nos ramos:
  • Corrente no resistor:
  • Corrente indutiva:
  • Corrente capacitiva:
(b) Corrente total e ângulo de fase:
  • Corrente total:
© Impedância total:
  • Impedância:
(d) Potência consumida pelo circuito:
  • Potência:
(e) Diagrama de fasores para a corrente:
  • Conforme ilustrado no Passo 6.

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