Resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros e defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem aqui:
Aqui, o conteúdo envolve equações diferenciais lineares não homogêneas e o método da variação dos parâmetros. Vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que é formada pela solução da equação homogênea associada mais uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, vamos usar a equação característica. Substituímos
na equação homogênea:
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea usando o método da variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
Vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Passo 5
Para encontrar
e
, calculamos as derivadas de
:
Mas para simplificar, no método da variação dos parâmetros, impomos que:
Passo 6
Substituindo
e
:
Podemos escrever isso como um sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema, subtraímos a primeira equação da segunda:
E da primeira equação:
Passo 8
Agora, integramos
e
para encontrar
e
:
Essas integrais não têm solução em termos de funções elementares, então deixamos a solução em forma de integrais.
Passo 9
Portanto, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
O intervalo de validade da solução geral é
, ou seja, para todo
real.
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Use o Princípio da Superposição e os itens anteriores para encontrar a solução geral para
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
no ponto
.
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Resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros e defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.