Resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros e defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
y'' - 2y' + y = e^(-x) / (1 + x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem aqui:
Aqui, o conteúdo envolve equações diferenciais lineares não homogêneas e o método da variação dos parâmetros. Vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que é formada pela solução da equação homogênea associada mais uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, vamos usar a equação característica. Substituímos na equação homogênea:

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea usando o método da variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
Vamos assumir que a solução particular tem a forma:

Passo 5

Para encontrar e , calculamos as derivadas de :
Mas para simplificar, no método da variação dos parâmetros, impomos que:

Passo 6

Substituindo e :
Podemos escrever isso como um sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema, subtraímos a primeira equação da segunda:
E da primeira equação:

Passo 8

Agora, integramos e para encontrar e :
Essas integrais não têm solução em termos de funções elementares, então deixamos a solução em forma de integrais.

Passo 9

Portanto, a solução particular é:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
O intervalo de validade da solução geral é , ou seja, para todo real.

Exercícios relacionados

Use o Princípio da Superposição e os itens anteriores para encontrar a solução geral para
y'' + y = cos^2(x) + sec(x)
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. z = sen(x + y) no ponto (1, -1, 0).
Use o Princípio da Superposição e os itens anteriores para encontrar a solução geral para
y'' + y = sec(x) + 2x sen(x)
Resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros e defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
y'' - 2y' + y = e^(-x) / ln(x)