Resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros e defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
y'' - 2y' + y = e^(-x) / ln(x)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. Para isso, precisamos entender que estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, encontrar uma solução particular para a equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Para encontrar a solução dessa equação, buscamos raízes características da equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular usando o método da variação dos parâmetros. O método requer que conheçamos as soluções da equação homogênea, que já encontramos como e .
A forma da solução particular é:
onde e são funções a serem determinadas.

Passo 4

Para encontrar e , usamos as seguintes expressões:
onde e é o Wronskiano das soluções e .
Calculando o Wronskiano:
Então:

Passo 5

Agora, substituímos no sistema para encontrar e :

Passo 6

Integrando e para encontrar e :
Essas integrais não possuem soluções em termos de funções elementares, então a solução particular será expressa usando essas integrais.

Passo 7

Assim, a solução geral da equação diferencial é:
Simplificando:
Note que as integrais se cancelam parcialmente, mas a expressão geral da solução envolve essas integrais que não podem ser expressas de forma elementar.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde e são constantes arbitrárias. A solução é válida no intervalo onde está definida e diferente de zero, ou seja, para e .

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