Use o Princípio da Superposição e os itens anteriores para encontrar a solução geral para
y'' + y = sec(x) + 2x sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o Princípio da Superposição. Esse princípio diz que, para equações diferenciais lineares, a solução geral pode ser obtida somando as soluções das partes homogênea e particular da equação. Para isso, vamos precisar conhecer:
  • Equação Homogênea:
  • Soluções Particulares para cada termo do lado direito da equação original, ou seja, para e para .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação tem a forma:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o termo no lado direito da equação. Para isso, assumimos uma forma específica de que, quando derivada e substituída na equação original, satisfaça a igualdade.
No caso de , uma boa tentativa é usar funções trigonométricas múltiplas de . Suponhamos:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Essa equação não é satisfatória para qualquer valor de , indicando que precisamos ajustar nossa suposição. Vamos tentar uma forma diferente, considerando termos que apareçam na derivação de .
Vamos supor:
Após cálculos apropriados, podemos determinar que essa forma resolve a equação para o termo . Portanto, a solução particular é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o termo no lado direito da equação. Para isso, usamos o método de Coeficientes a Determinar. Como o termo já contém , que é solução da homogênea, precisamos multiplicar por para evitar redundância.
Assumimos a forma:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Igualando aos termos do lado direito :
Percebemos que há um erro na suposição inicial. Precisamos incluir termos adicionais. Portanto, ajustamos nossa suposição para incluir termos com multiplicados por funções trigonométricas:
Após calcular as derivadas e substituir na equação original, resolvemos para e encontramos a solução particular correspondente ao termo .

Passo 5

Finalmente, aplicando o Princípio da Superposição, somamos as soluções encontradas:
Substituindo as expressões:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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Resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros e defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
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Use o Princípio da Superposição e os itens anteriores para encontrar a solução geral para
y'' + y = cos^2(x) + sec(x)
Resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros e defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
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Seja f(x, y)=ccx^2 sin ((x^2+y^2)^2)x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0), 0 & se (x, y)=(0,0)
Determine fy(x, y), para (x, y) in R^2.