Use o Princípio da Superposição e os itens anteriores para encontrar a solução geral para
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o Princípio da Superposição. Esse princípio diz que, para equações diferenciais lineares, a solução geral pode ser obtida somando as soluções das partes homogênea e particular da equação. Para isso, vamos precisar conhecer:
- Equação Homogênea:
- Soluções Particulares para cada termo do lado direito da equação original, ou seja, para
e para .
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação tem a forma:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para o termo
no lado direito da equação. Para isso, assumimos uma forma específica de
que, quando derivada e substituída na equação original, satisfaça a igualdade.
No caso de
, uma boa tentativa é usar funções trigonométricas múltiplas de
. Suponhamos:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Essa equação não é satisfatória para qualquer valor de
, indicando que precisamos ajustar nossa suposição. Vamos tentar uma forma diferente, considerando termos que apareçam na derivação de
.
Vamos supor:
Após cálculos apropriados, podemos determinar que essa forma resolve a equação para o termo
. Portanto, a solução particular é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para o termo no lado direito da equação. Para isso, usamos o método de Coeficientes a Determinar. Como o termo já contém , que é solução da homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar redundância.
Assumimos a forma:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Igualando aos termos do lado direito :
Percebemos que há um erro na suposição inicial. Precisamos incluir termos adicionais. Portanto, ajustamos nossa suposição para incluir termos com
multiplicados por funções trigonométricas:
Após calcular as derivadas e substituir na equação original, resolvemos para
e encontramos a solução particular correspondente ao termo .
Passo 5
Finalmente, aplicando o Princípio da Superposição, somamos as soluções encontradas:
Substituindo as expressões:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.