Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
$(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa questão está relacionada ao estudo de equações diferenciais ordinárias, especificamente abordando métodos de separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar isolar as variáveis e em lados opostos da equação e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação . Aqui, representa a derivada de em relação a , ou seja, . Então, podemos reescrever a equação como:

Passo 3

Nosso objetivo é separar as variáveis e para lados opostos da equação. Vamos multiplicar ambos os lados por e por para conseguir essa separação:

Passo 4

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A integral de em relação a e a integral de em relação a são:

Passo 5

Vamos calcular as integrais:
Onde é a constante de integração que aparece ao resolver integrais indefinidas.

Passo 6

Para encontrar a expressão geral de , vamos isolar :
Podemos simplificar para apenas , já que é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine o valor lógico das seguintes proposições, justificando sua resposta:
(a) Existem dois números primos entre e ou .
Encontre a solução geral de cada equação diferencial dada:
$(d) .
Verifique se cada função dada é uma solução da equação diferencial.
$(b) .
XXVIII)