Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
$(a)
$(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa questão está relacionada ao estudo de equações diferenciais ordinárias, especificamente abordando métodos de separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar isolar as variáveis
e
em lados opostos da equação e então integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação
. Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Então, podemos reescrever a equação como:
Passo 3
Nosso objetivo é separar as variáveis
e
para lados opostos da equação. Vamos multiplicar ambos os lados por
e por
para conseguir essa separação:
Passo 4
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A integral de
em relação a
e a integral de
em relação a
são:
Passo 5
Vamos calcular as integrais:
Onde
é a constante de integração que aparece ao resolver integrais indefinidas.
Passo 6
Para encontrar a expressão geral de
, vamos isolar
:
Podemos simplificar
para apenas
, já que
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine o valor lógico das seguintes proposições, justificando sua resposta:
(a) Existem dois números primos entre e
ou
.
(a) Existem dois números primos entre
Encontre a solução geral de cada equação diferencial dada:
$(d) .
$(d)
Verifique se cada função dada é uma solução da equação diferencial.
$(b) .
$(b)
XXVIII)