Encontre a solução geral de cada equação diferencial dada:
$(d)
.
$(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
para resolver. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar um fator integrante, que ajuda a transformar a equação numa forma mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão:
. Para isso, dividimos todos os termos por
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. Ele é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
:
A ideia aqui é que o lado esquerdo agora pode ser escrito como a derivada de
.
Passo 5
Escrevemos o lado esquerdo como derivada:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Passo 6
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para o lado direito, usamos integração por partes:
Então,
Passo 7
Por fim, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine a ordem da equação diferencial e classifique-a em linear ou não linear.
$(b) ;
$(b)
Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porquê: (h)
ou
.
Determine o valor lógico das seguintes proposições, justificando sua resposta:
(a) Existem dois números primos entre e
ou
.
(a) Existem dois números primos entre
Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
$(a)
$(a)