Resolva:
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Para cada EDO, esboce os gráficos de várias soluções no mesmo plano e desenhe o campo de direções. (Obs: Use um computador para plotar o gráfico das soluções se necessário).
Para cada EDO, esboce os gráficos de várias soluções no mesmo plano e desenhe o campo de direções. (Obs: Use um computador para plotar o gráfico das soluções se necessário).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial ordinária (EDO)
. Vamos trabalhar com o conteúdo de equações diferenciais, especificamente com EDOs separáveis. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis
e
, integrar ambos os lados e encontrar a solução geral da EDO. Após resolver, vamos falar sobre como esboçar os gráficos das soluções e o campo de direções.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a EDO é separável, ou seja, se conseguimos escrever a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os com
fiquem do outro. Nossa equação é:
Podemos reescrever isso como:
Agora, as variáveis estão separadas e podemos integrar ambos os lados.
Passo 3
Vamos integrar o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Integral do lado esquerdo:
Integral do lado direito:
Passo 4
Agora, igualamos as integrais:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 5
Essa é a solução implícita da EDO. Para deixar de forma explícita, precisaríamos isolar
, mas isso pode não ser possível analiticamente devido ao termo
. Portanto, a solução geral da equação é:
Passo 6
Agora, sobre esboçar os gráficos das soluções e o campo de direções: Como mencionado no enunciado, é recomendável usar um computador ou software de matemática (como o GeoGebra, MATLAB ou Wolfram Mathematica) para plotar as várias soluções da EDO no mesmo plano. O campo de direções pode ser desenhado usando a inclinação fornecida pela EDO em cada ponto
. Isso ajuda a visualizar como as soluções se comportam em torno de diferentes regiões do plano.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: