Resolva:
dx/dt = (4t - t^3) / (4 + x^3);
Para cada EDO, esboce os gráficos de várias soluções no mesmo plano e desenhe o campo de direções. (Obs: Use um computador para plotar o gráfico das soluções se necessário).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial ordinária (EDO) . Vamos trabalhar com o conteúdo de equações diferenciais, especificamente com EDOs separáveis. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e , integrar ambos os lados e encontrar a solução geral da EDO. Após resolver, vamos falar sobre como esboçar os gráficos das soluções e o campo de direções.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a EDO é separável, ou seja, se conseguimos escrever a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os com fiquem do outro. Nossa equação é:
Podemos reescrever isso como:
Agora, as variáveis estão separadas e podemos integrar ambos os lados.

Passo 3

Vamos integrar o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :
Integral do lado esquerdo:
Integral do lado direito:

Passo 4

Agora, igualamos as integrais:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Passo 5

Essa é a solução implícita da EDO. Para deixar de forma explícita, precisaríamos isolar , mas isso pode não ser possível analiticamente devido ao termo . Portanto, a solução geral da equação é:

Passo 6

Agora, sobre esboçar os gráficos das soluções e o campo de direções: Como mencionado no enunciado, é recomendável usar um computador ou software de matemática (como o GeoGebra, MATLAB ou Wolfram Mathematica) para plotar as várias soluções da EDO no mesmo plano. O campo de direções pode ser desenhado usando a inclinação fornecida pela EDO em cada ponto . Isso ajuda a visualizar como as soluções se comportam em torno de diferentes regiões do plano.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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