Exercício 1. Calcule a integral para os seguintes casos:
© e limitada por .

Passo 1

Nesta questão, precisamos calcular a integral dupla , onde . A região está delimitada pelas curvas , e . Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . As curvas que delimitam são:
  • : Essa é uma parábola que abre para a direita.
  • : Uma linha horizontal onde é constante.
  • : O eixo .
Vamos esboçar essas curvas para visualizar a área . A interseção de e ocorre quando , ou seja, .
Então, na direção de , variamos de a , e para cada , varia de a .

Passo 3

Agora, configuramos a integral dupla com esses limites. A integral fica:

Passo 4

Vamos primeiro integrar em relação a . Considerando como constante, temos:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 5

Agora, integramos o resultado em relação a de 0 a :
Calculando cada integral:

Passo 6

Somando os resultados das duas integrais:
Podemos fatorar :

Resposta

A integral dupla é .

Exercícios relacionados

Exercício 1. Calcule a integral para os seguintes casos:
(a) e e .
A equação de Chebyshev é
onde é uma constante (um número).
i. Mostre que e são pontos singulares regulares e encontre os exponentes em cada uma dessas singularidades (resolva a equação indicial).
ii. Encontre a solução em torno de .
Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante:
Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante: