Nesta questão, precisamos calcular a integral dupla , onde . A região está delimitada pelas curvas , e . Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . As curvas que delimitam são:
: Essa é uma parábola que abre para a direita.
: Uma linha horizontal onde é constante.
: O eixo .
Vamos esboçar essas curvas para visualizar a área . A interseção de e ocorre quando , ou seja, .
Então, na direção de , variamos de a , e para cada , varia de a .
Passo 3
Agora, configuramos a integral dupla com esses limites. A integral fica:
Passo 4
Vamos primeiro integrar em relação a . Considerando como constante, temos:
Calculando cada parte:
Então:
integralx=0^y^2 (x + 2y) , dx = y^42 + 2y^3
Passo 5
Agora, integramos o resultado em relação a y de 0 a 2e:
integral0^2e ( y^42 + 2y^3 ) , dy = 12 integral0^2e y^4 , dy + 2 integral0^2e y^3 , dy