Exercício 1. Calcule a integral integral duplaD f(x, y) d x d y para os seguintes casos:
© f(x, y)=x+2 y e D limitada por y=raizx, y=2 e x=0.

Passo 1

Nesta questão, precisamos calcular a integral dupla integral duplaD f(x, y) , dx , dy, onde f(x, y) = x + 2y. A região D está delimitada pelas curvas y = raizx, y = 2e e x = 0. Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração D. As curvas que delimitam D são:
  • y = raizx: Essa é uma parábola que abre para a direita.
  • y = 2e: Uma linha horizontal onde y é constante.
  • x = 0: O eixo y.
Vamos esboçar essas curvas para visualizar a área D. A interseção de y = raizx e y = 2e ocorre quando raizx = 2e, ou seja, x = (2e)^2 = 4e^2.
Então, na direção de y, variamos de y=0 a y=2e, e para cada y, x varia de x=0 a x=y^2.

Passo 3

Agora, configuramos a integral dupla com esses limites. A integral fica:
integral duplaD (x + 2y) , dx , dy = integraly=0^2e integralx=0^y^2 (x + 2y) , dx , dy

Passo 4

Vamos primeiro integrar em relação a x. Considerando y como constante, temos:
integralx=0^y^2 (x + 2y) , dx = integral0^y^2 x , dx + integral0^y^2 2y , dx
Calculando cada parte:
integral0^y^2 x , dx = [ x^22 ]0^y^2 = (y^2)^22 - 0 = y^42
integral0^y^2 2y , dx = 2y cdot x gr|0^y^2 = 2y cdot y^2 - 0 = 2y^3
Então:
integralx=0^y^2 (x + 2y) , dx = y^42 + 2y^3

Passo 5

Agora, integramos o resultado em relação a y de 0 a 2e:
integral0^2e ( y^42 + 2y^3 ) , dy = 12 integral0^2e y^4 , dy + 2 integral0^2e y^3 , dy
Calculando cada integral:
12 integral0^2e y^4 , dy = 12 [ y^55 ]0^2e = 12 cdot (2e)^55 = 32 e^510 = 16 e^55
2 integral0^2e y^3 , dy = 2 [ y^44 ]0^2e = 2 cdot (2e)^44 = 2 cdot 16 e^44 = 2 cdot 4 e^4 = 8 e^4

Passo 6

Somando os resultados das duas integrais:
16 e^55 + 8 e^4 = 16 e^5 + 40 e^45 = 16 e^5 + 40 e^45
Podemos fatorar 8 e^4:
8 e^4 (2 e + 5)5

Resposta

A integral dupla é 8 e^4 (2 e + 5)5.

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