Resolva os edos seguintes (4 ponto):
.
Passo 1
Vamos entender o problema. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO):
Para resolver essa equação, vamos precisar usar conceitos de equações exatas e integrais de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar as partes que multiplicam
e
. Podemos escrever a EDO da seguinte forma:
onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Isso implica que:
integramos para encontrar
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituímos
na expressão de
:
Multiplicando todos os termos por 3 para simplificar:
Podemos renomear
como
, já que é apenas uma constante qualquer.
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante.
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