Resolva os edos seguintes (4 ponto):
.

Passo 1

Vamos entender o problema. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO):
Para resolver essa equação, vamos precisar usar conceitos de equações exatas e integrais de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar as partes que multiplicam e . Podemos escrever a EDO da seguinte forma:
onde:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a :
onde é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Isso implica que:
integramos para encontrar :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituímos na expressão de :
Multiplicando todos os termos por 3 para simplificar:
Podemos renomear como , já que é apenas uma constante qualquer.

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante.

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