Resolva os edos seguintes ( 3 ponto):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial ordinária (EDO):
Matéria envolvida: Equações diferenciais lineares de segunda ordem.
O que vamos precisar: Conhecimentos sobre soluções da equação homogênea associada e o método de coeficientes a determinar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral da equação homogênea é dada por:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a EDO completa:
Como o termo do lado direito é , que é
, vamos usar o método de coeficientes a determinar, também conhecido como método de variação dos parâmetros.
Passo 4
Usando o método de variação dos parâmetros, a solução particular é dada por:
Onde
e
são funções a serem determinadas.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Mas para simplificar, usamos as condições:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
-
Da primeira equação:
-
Substituindo na segunda equação:
Passo 7
Integrando
:
E de
:
Passo 8
Assim, a solução particular fica:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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