Resolva os edos seguintes ( 3 ponto):

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial ordinária (EDO):
Matéria envolvida: Equações diferenciais lineares de segunda ordem.
O que vamos precisar: Conhecimentos sobre soluções da equação homogênea associada e o método de coeficientes a determinar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral da equação homogênea é dada por:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a EDO completa:
Como o termo do lado direito é , que é , vamos usar o método de coeficientes a determinar, também conhecido como método de variação dos parâmetros.

Passo 4

Usando o método de variação dos parâmetros, a solução particular é dada por:
Onde e são funções a serem determinadas.

Passo 5

Calculamos as derivadas de :
Mas para simplificar, usamos as condições:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:

Passo 7

Integrando :
E de :

Passo 8

Assim, a solução particular fica:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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