Resolva os edos seguintes (4 ponto):
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo:
O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente para resolver uma EDO de primeira ordem. Para resolver essa equação, vamos precisar reorganizá-la e aplicar uma substituição que simplifique a resolução.
Passo 2
Vamos começar rearranjando a equação para isolar
. Assim:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 3
Observando a equação, percebemos que o numerador e o denominador têm termos semelhantes. Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
. Derivando
em relação a
:
Passo 5
Substituindo
da Passo 2 na equação acima:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos uma equação para
em termos de
:
Vamos reescrever isso para separar as variáveis:
Passo 7
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo requer decomposição em frações parciais:
Podemos escrever:
Então, a integral fica:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, substituímos
de volta na equação:
Podemos simplificar ainda mais se desejarmos, mas essa é a forma geral da solução.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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