Resolva os edos seguintes (4 ponto):

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo:

O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente para resolver uma EDO de primeira ordem. Para resolver essa equação, vamos precisar reorganizá-la e aplicar uma substituição que simplifique a resolução.

Passo 2

Vamos começar rearranjando a equação para isolar . Assim:
Dividindo ambos os lados por , temos:

Passo 3

Observando a equação, percebemos que o numerador e o denominador têm termos semelhantes. Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar . Derivando em relação a :

Passo 5

Substituindo da Passo 2 na equação acima:
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos uma equação para em termos de :
Vamos reescrever isso para separar as variáveis:

Passo 7

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo requer decomposição em frações parciais:
Podemos escrever:
Então, a integral fica:

Passo 8

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Agora, substituímos de volta na equação:
Podemos simplificar ainda mais se desejarmos, mas essa é a forma geral da solução.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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