Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis definida de forma diferente no ponto e nos demais pontos. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo de limites, continuidade e diferenciação de funções de várias variáveis. Precisamos verificar se a função é diferenciável na origem.
Passo 2
Vamos começar verificando se a função é contínua na origem. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Calculamos o limite de quando :
Para analisar esse limite, vamos tentar caminhos diferentes para ver se o limite é sempre o mesmo.
Passo 4
Vamos escolher o caminho , onde é uma constante. Substituindo na função:
Esse limite tende a zero.
Passo 5
Agora, vamos tentar o caminho :
E o caminho :
Em ambos os casos, o limite é zero. Parece que o limite é zero independente do caminho, então a função é contínua na origem.
Passo 6
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de na origem.
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:
Passo 7
Para verificar a diferenciabilidade, devemos analisar se:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 8
Vamos usar o caminho :
Esse limite tende ao infinito quando , o que significa que a função não é diferenciável na origem.