A função
é diferenciável origem?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis definida de forma diferente no ponto e nos demais pontos. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo de limites, continuidade e diferenciação de funções de várias variáveis. Precisamos verificar se a função é diferenciável na origem.

Passo 2

Vamos começar verificando se a função é contínua na origem. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Calculamos o limite de quando :
Para analisar esse limite, vamos tentar caminhos diferentes para ver se o limite é sempre o mesmo.

Passo 4

Vamos escolher o caminho , onde é uma constante. Substituindo na função:
Esse limite tende a zero.

Passo 5

Agora, vamos tentar o caminho :
E o caminho :
Em ambos os casos, o limite é zero. Parece que o limite é zero independente do caminho, então a função é contínua na origem.

Passo 6

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de na origem.
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 7

Para verificar a diferenciabilidade, devemos analisar se:
Substituindo os valores encontrados:

Passo 8

Vamos usar o caminho :
Esse limite tende ao infinito quando , o que significa que a função não é diferenciável na origem.

Resposta

Não, a função não é diferenciável na origem.

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e
apresentando, também, uma representação gráfica desse conjunto.
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