Resolva os problemas a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é dada por:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e integrar ambos os lados. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação:
Isso pode ser reescrito como:
Nosso objetivo é isolar e os termos que envolvem de um lado e os que envolvem do outro.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação:
Observamos que essa é uma equação diferencial não exata e vamos precisar de um fator integrante ou outra técnica para resolver. Nesse caso, vamos tentar uma substituição que simplifique a equação.

Passo 4

Vamos tentar a substituição . Calculando a derivada de em relação a :
Vamos substituir da equação original nessa expressão.

Passo 5

Substituindo na expressão de :
Agora temos uma equação linear em termos de .

Passo 6

A equação ficou:
Essa é uma equação diferencial linear da forma , onde e . Vamos encontrar o fator integrante.

Passo 7

O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Agora, o lado esquerdo é a derivada de .

Passo 8

Integramos ambos os lados:
Integrando:
Dividindo por :

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta:
Tomamos o inverso para encontrar :

Passo 10

Agora, usamos a condição inicial para encontrar :
Calculando os termos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Invertendo:
Resolvendo para :

Passo 11

Substituindo de volta na expressão de :
Podemos simplificar:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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