Resolva a equação diferencial:
sabendo que ela obedece às condições de contorno
em
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que você trouxe é:
Além disso, temos as condições de contorno:
Vamos usar a teoria das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes para resolver isso. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, $ a = 4 $ e $ b = 5 $, então a equação característica fica:
Passo 3
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ m $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 4 $, e $ c = 5 $. Substituindo:
Então, as raízes são complexas: $ m = -2 + i $ e $ m = -2 - i $.
Passo 4
Quando as raízes da equação característica são complexas $ m = \alpha \pm \beta i $, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, $ \alpha = -2 $ e $ \beta = 1 $. Portanto, a solução geral é:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes $ A $ e $ B $.
Primeiro, usamos $ y(0) = 0 $:
Então, $ A = 0 $.
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda condição: $ \left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0} = -3 $.
Primeiro, encontramos a derivada de $ y(x) $:
Usando a regra do produto:
Agora, avaliamos em $ x = 0 $:
Então, $ B = -3 $.
Resposta
A solução da equação diferencial é: