Resolva a equação diferencial:
d^2 yd x^2+4 d yd x+5 y=0
sabendo que ela obedece às condições de contorno y(0)=0 e d yd x( em x=0)=-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que você trouxe é:
d^2 yd x^2 + 4 d yd x + 5 y = 0
Além disso, temos as condições de contorno:
y(0) = 0 e d yd x|x=0 = -3
Vamos usar a teoria das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes para resolver isso. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma:
d^2 yd x^2 + a d yd x + b y = 0
A equação característica é:
m^2 + a m + b = 0
No nosso caso, $ a = 4 $ e $ b = 5 $, então a equação característica fica:
a = 4

Passo 3

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ m $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
m
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 4 $, e $ c = 5 $. Substituindo:
m = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então, as raízes são complexas: $ m = -2 + i $ e $ m = -2 - i $.

Passo 4

Quando as raízes da equação característica são complexas $ m = \alpha \pm \beta i $, a solução geral da equação diferencial é:
m = alpha pm beta i
No nosso caso, $ \alpha = -2 $ e $ \beta = 1 $. Portanto, a solução geral é:
y(x) = e^alpha x ( A cos(beta x) + B sin(beta x) )

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes $ A $ e $ B $.
Primeiro, usamos $ y(0) = 0 $:
A
Então, $ A = 0 $.

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda condição: $ \left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0} = -3 $.
Primeiro, encontramos a derivada de $ y(x) $:
d yd x|x=0 = -3
Usando a regra do produto:
y(x)
Agora, avaliamos em $ x = 0 $:
dydx = ddx [ e^-2x ( 0 cdot cos(x) + B sin(x) ) ] = ddx [ B e^-2x sin(x) ]
Então, $ B = -3 $.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = -3, e^-2x sin(x)

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