Em cada caso mostre que
é uma autofunção do operador
e encontre o autovalor.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde temos que mostrar que a função $ f(x) = e^{\alpha x} $ é uma autofunção do operador $ \hat{A} = \frac{d^{2}}{d x^{2}} + 2 \frac{d}{d x} + 3 $ e encontrar o autovalor correspondente. Para isso, vamos usar conceitos de operadores diferenciais e autofunções, que são funções que, quando aplicadas por um operador linear, resultam na própria função multiplicada por um escalar (o autovalor).
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o operador $ \hat{A} $ na função $ f(x) $. Isso significa que vamos substituir $ f(x) $ na expressão do operador:
Passo 3
Vamos calcular cada termo separadamente. Começando pela segunda derivada de $ e^{\alpha x} $:
Passo 4
Agora, calculamos o primeiro derivada multiplicada por 2:
Passo 5
O último termo é simplesmente 3 vezes a função original:
Passo 6
Juntando todos os termos, temos:
Passo 7
Fatorando $ e^{\alpha x} $ dos três termos:
Passo 8
Observamos que $ \hat{A} f(x) $ é igual a um escalar $ (\alpha^{2} + 2 \alpha + 3) $ multiplicado pela função $ f(x) $. Isso significa que $ f(x) $ é realmente uma autofunção do operador $ \hat{A} $, e o autovalor correspondente é $ \alpha^{2} + 2 \alpha + 3 $.
Resposta
A função $ f(x) = e^{\alpha x} $ é uma autofunção do operador $ \hat{A} $ com o autovalor $ \lambda = \alpha^{2} + 2 \alpha + 3 $.