Determine a probabilidade de encontrar uma partícula, transladando em uma caixa unidimensional de tamanho L , nas seguintes regiões:
Entre 0 e 3L/4
Entre 0 e 3L/4
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisa encontrar a probabilidade de achar uma partícula que está se movendo dentro de uma caixa unidimensional de tamanho $ L $. Queremos saber a chance dela estar na região entre $ 0 $ e $ \frac{3L}{4} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade contínua, especificamente a distribuição uniforme, já que a partícula está se movendo livremente na caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de probabilidade uniforme. Basicamente, significa que a probabilidade da partícula estar em qualquer ponto da caixa é a mesma. Não tem uma região mais provável que outra. Nesse caso, a densidade de probabilidade é constante ao longo de toda a caixa.
Passo 3
A fórmula para a densidade de probabilidade $ \rho(x) $ em uma distribuição uniforme numa caixa de tamanho $ L $ é:
Isso porque a integral da densidade de probabilidade sobre todo o intervalo deve ser igual a 1:
Substituindo $ \rho(x) $ por $ \frac{1}{L} $:
Então, a densidade de probabilidade está correta.
Passo 4
Agora, queremos saber a probabilidade de encontrar a partícula entre $ 0 $ e $ \frac{3L}{4} $. A probabilidade $ P $ nesse intervalo é a integral da densidade de probabilidade $ \rho(x) $ de $ 0 $ a $ \frac{3L}{4} $:
Passo 5
Vamos calcular essa integral:
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula na região entre $ 0 $ e $ \frac{3L}{4} $ é de $ \frac{3}{4} $ ou 75%.