Determine a probabilidade de encontrar uma partícula, transladando em uma caixa unidimensional de tamanho L , nas seguintes regiões:
Entre 0 e 3L/4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisa encontrar a probabilidade de achar uma partícula que está se movendo dentro de uma caixa unidimensional de tamanho $ L $. Queremos saber a chance dela estar na região entre $ 0 $ e $ \frac{3L}{4} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade contínua, especificamente a distribuição uniforme, já que a partícula está se movendo livremente na caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de probabilidade uniforme. Basicamente, significa que a probabilidade da partícula estar em qualquer ponto da caixa é a mesma. Não tem uma região mais provável que outra. Nesse caso, a densidade de probabilidade é constante ao longo de toda a caixa.

Passo 3

A fórmula para a densidade de probabilidade $ \rho(x) $ em uma distribuição uniforme numa caixa de tamanho $ L $ é:
rho(x)
Isso porque a integral da densidade de probabilidade sobre todo o intervalo deve ser igual a 1:
L
Substituindo $ \rho(x) $ por $ \frac{1}{L} $:
rho(x) = 1L
Então, a densidade de probabilidade está correta.

Passo 4

Agora, queremos saber a probabilidade de encontrar a partícula entre $ 0 $ e $ \frac{3L}{4} $. A probabilidade $ P $ nesse intervalo é a integral da densidade de probabilidade $ \rho(x) $ de $ 0 $ a $ \frac{3L}{4} $:
0

Passo 5

Vamos calcular essa integral:
P = 1L times [ x ]0^3L4 = 1L times ( 3L4 - 0 ) = 3L4L = 34

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula na região entre $ 0 $ e $ \frac{3L}{4} $ é de $ \frac{3}{4} $ ou 75%.

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