Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver a equação diferencial
utilizando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é bom pra resolver equações diferenciais não homogêneas onde o termo à direita (chamado de forçamento) tem uma forma que a gente consegue adivinhar a solução particular. Vamos precisar saber como resolver equações homogêneas e como assumir uma forma para a solução particular baseada no forçamento.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Aqui, a gente procura soluções da forma
, que levam à equação característica:
Isso significa que a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes que a gente determina com as condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos para a solução particular
. O lado direito da equação é
. Para usar o método dos coeficientes indeterminados, vamos assumir que a solução particular tem a mesma forma que o forçamento, mas como o nosso forçamento já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar redundância.
Então, vamos supor que:
onde
são coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos derivar
para encontrar
e
. Esse cálculo pode ser um pouco extenso, mas é essencial para substituir na equação diferencial e resolver para os coeficientes.
Primeiro, calculamos a primeira derivada:
E depois a segunda derivada
de forma similar.
Passo 5
Substituímos
,
, e
na equação diferencial original:
Depois de substituir, agrupamos os termos semelhantes em
e
e igualamos os coeficientes de cada potência de
dos dois lados da equação.
Passo 6
Resolva o sistema de equações resultante para encontrar os valores de
. Isso geralmente envolve igualar os coeficientes dos termos de
e
em ambos os lados da equação.
Após resolver, você obterá os valores dos coeficientes que compõem a solução particular
.
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Substitua
com os coeficientes encontrados no Passo 6.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias, e
são coeficientes determinados pelos cálculos descritos nos passos anteriores.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Resolva a equação diferencial dada com coeficientes variáveis.
i)
i)
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Resolva cada equaão diferencial pelo método da variação de parâmetros.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)