Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
ll a) y^prime prime+4 y=(x^2-3) sen 2 x & b) y^prime prime-8 y^prime+20 y=100 x^2-26 x e^x c) y^prime prime+y=2 x sen x & d) y^prime prime-2 y^prime+5 y=e^x cos 2 x e) y^prime prime+2 y^prime+y=sen x+3 cos 2 x & f) y^prime prime-2 y^prime+2 y=e^2 x(cos x-3 sen x) g) y^i v-y^prime prime=4 x+2 x e^-x & h) y^prime prime prime-y^prime prime-4 y^prime+4 y=5-e^x+e^2 x i) y^prime prime prime-3 y^prime prime+3 y^prime-y=x-4 e^x & j) y^prime prime prime-6 y^prime prime=3-cos x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver a equação diferencial
y'' + 4y = (x^2 - 3) sin 2x
utilizando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é bom pra resolver equações diferenciais não homogêneas onde o termo à direita (chamado de forçamento) tem uma forma que a gente consegue adivinhar a solução particular. Vamos precisar saber como resolver equações homogêneas e como assumir uma forma para a solução particular baseada no forçamento.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + 4y = 0
Aqui, a gente procura soluções da forma y = e^rx, que levam à equação característica:
r^2 + 4 = 0 Rightarrow r = pm 2i
Isso significa que a solução geral da parte homogênea é:
yh = C1 cos 2x + C2 sin 2x
onde C1 e C2 são constantes que a gente determina com as condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos para a solução particular yp. O lado direito da equação é (x^2 - 3) sin 2x. Para usar o método dos coeficientes indeterminados, vamos assumir que a solução particular tem a mesma forma que o forçamento, mas como o nosso forçamento já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar por x para evitar redundância.
Então, vamos supor que:
yp = x (A x^2 + B x + C) cos 2x + x (D x^2 + E x + F) sin 2x
onde A, B, C, D, E, F são coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos derivar yp para encontrar yp' e yp''. Esse cálculo pode ser um pouco extenso, mas é essencial para substituir na equação diferencial e resolver para os coeficientes.
Primeiro, calculamos a primeira derivada:
yp' = (A x^2 + B x + C) cos 2x + x (2A x + B) cos 2x - 2x (A x^2 + B x + C) sin 2x + (D x^2 + E x + F) sin 2x + x (2D x + E) sin 2x + 2x (D x^2 + E x + F) cos 2x
E depois a segunda derivada yp'' de forma similar.

Passo 5

Substituímos yp, yp', e yp'' na equação diferencial original:
yp'' + 4 yp = (x^2 - 3) sin 2x
Depois de substituir, agrupamos os termos semelhantes em cos 2x e sin 2x e igualamos os coeficientes de cada potência de x dos dois lados da equação.

Passo 6

Resolva o sistema de equações resultante para encontrar os valores de A, B, C, D, E, F. Isso geralmente envolve igualar os coeficientes dos termos de x^n cos 2x e x^n sin 2x em ambos os lados da equação.
Após resolver, você obterá os valores dos coeficientes que compõem a solução particular yp.

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 cos 2x + C2 sin 2x + yp
Substitua yp com os coeficientes encontrados no Passo 6.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + x (A x^2 + B x + C) cos 2x + x (D x^2 + E x + F) sin 2x
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias, e A, B, C, D, E, F são coeficientes determinados pelos cálculos descritos nos passos anteriores.

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