Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
a) y^prime prime prime+3 y^prime prime-4 y^prime-12 y=0
b) y^i v+y^prime prime prime+y^prime prime=0
c) 16 y^i v+24 y^prime prime+9 y=0
d) y^v-2 y^i v+17 y^prime prime prime=0
e) y^prime prime prime-6 y^prime prime+12 y^prime-8 y=0
f) y^prime prime prime-y^prime prime-4 y=0
g) ly^prime prime prime+12 y^prime prime+36 y^prime=0 y(0)=0, y^prime(0)=1, y^prime prime(0)=-7
h) ly^i v-y=0 y(0)=y^prime(0)=y^prime prime(0)=0, y^prime prime prime(0)=1
i) ly^prime prime prime+2 y^prime prime-5 y^prime-6 y=0 y(0)=y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=1
j) ly^prime prime prime-8 y=0 y(0)=0, y^prime(0)=-1, y^prime prime(0)=0

Passo 1

Beleza! O enunciado está pedindo para encontrar a solução geral da equação diferencial dada. Vamos focar na parte a), que é:
y^prime prime prime + 3y^prime prime - 4y^prime - 12y = 0
Para resolver essa equação, vamos precisar usar equações diferenciais lineares de ordem superior e polinômios característicos. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação diferencial homogênea:
y^prime prime prime + 3y^prime prime - 4y^prime - 12y = 0
Como é uma equação linear com coeficientes constantes, podemos resolver encontrando o polinômio característico associado.

Passo 3

O polinômio característico P(r) = r^3 + 3r^2 - 4r - 12 é formado substituindo por :
Vamos encontrar as raízes desse polinômio para determinar a solução geral.

Passo 4

Buscamos as raízes de 2^3 + 3(2)^2 - 4(2) - 12 = 8 + 12 - 8 - 12 = 0 . Testando valores inteiros, vemos que é uma raiz, pois:

Passo 5

Agora, fazemos a divisão polinomial para fatorar P(r) = (r - 2)(r^2 + 5r + 6) :
r^2 + 5r + 6 = (r + 2)(r + 3)
Em seguida, fatoramos o polinômio quadrático:

Passo 6

Então, as raízes do polinômio característico são:
r1 = 2, r2 = -2, r3 = -3
Todas as raízes são reais e distintas.

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz:
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x + C3 e^-3x
Onde , e são constantes arbitárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x + C3 e^-3x

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