Resolva a equação diferencial dada com coeficientes variáveis.
i)
i)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma equação diferencial com coeficientes variáveis:
Além disso, temos condições iniciais:
Vamos resolver essa equação diferencial utilizando técnicas para equações lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis, mais especificamente, reconhecendo que se trata de uma equação equidimensional.
Passo 2
Para resolver uma equação equidimensional, assumimos que a solução possui a forma
, onde
é um número que vamos determinar.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 5
Fatoramos
:
Como
, temos:
Passo 6
Resolvemos a equação quadrática para
:
Passo 7
Com dois valores distintos de
, a solução geral da equação é:
Onde
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 8
Aplicamos a primeira condição inicial
:
Passo 9
Calculamos a derivada da solução geral:
E aplicamos a segunda condição
:
Passo 10
Resolvemos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial dada com coeficientes variáveis.
d)
d)
Resolva a equação diferencial dada sujeito às condições iniciais indicadas.
d)
d)
Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.