Resolva a equação diferencial dada com coeficientes variáveis.
i)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma equação diferencial com coeficientes variáveis:
Além disso, temos condições iniciais:
Vamos resolver essa equação diferencial utilizando técnicas para equações lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis, mais especificamente, reconhecendo que se trata de uma equação equidimensional.

Passo 2

Para resolver uma equação equidimensional, assumimos que a solução possui a forma , onde é um número que vamos determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de :

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 5

Fatoramos :
Como , temos:

Passo 6

Resolvemos a equação quadrática para :

Passo 7

Com dois valores distintos de , a solução geral da equação é:
Onde e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 8

Aplicamos a primeira condição inicial :

Passo 9

Calculamos a derivada da solução geral:
E aplicamos a segunda condição :

Passo 10

Resolvemos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva a equação diferencial dada com coeficientes variáveis.
d)
Resolva a equação diferencial dada sujeito às condições iniciais indicadas.
d)
Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.