Resolva a equação diferencial dada pelo método da variação dos parâmetros.
(f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem que não são homogêneas. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular que se ajuste ao lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para fazer isso, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é dada por:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular usando o método da variação dos parâmetros. Sabemos que a solução homogênea é , então escolhemos assumir uma solução particular da forma:
Aqui, e são funções que precisamos determinar. Para isso, usaremos o sistema de equações:
Resolvendo o sistema, encontramos e , e depois integramos para encontrar e .
Após os cálculos, obtemos:
Simplificando e calculando as integrais, encontramos .

Passo 4

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a solução particular encontrada pelo método da variação dos parâmetros.

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(a)
Resp:
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
(b)