Resolva a equação diferencial dada pelo método da variação dos parâmetros.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
usando o método da variação dos parâmetros. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem que não são homogêneas. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular que se ajuste ao lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para fazer isso, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é dada por:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
usando o método da variação dos parâmetros. Sabemos que a solução homogênea é
, então escolhemos assumir uma solução particular da forma:
Aqui,
e
são funções que precisamos determinar. Para isso, usaremos o sistema de equações:
Resolvendo o sistema, encontramos
e
, e depois integramos para encontrar
e
.
Após os cálculos, obtemos:
Simplificando e calculando as integrais, encontramos
.
Passo 4
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea
e da solução particular
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
é a solução particular encontrada pelo método da variação dos parâmetros.
Exercícios relacionados
Sabendo-se que as funções
sen
e
são soluções linearmente independentes da equação
, encontre a solução geral de
Aponte diferenças entre placa, chapa e casca.
Determine a função complementar
e uma forma adequada para a solução particular
utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em
(a)
Resp:
(a)
Resp:
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
(b)
(b)