Resolva a equação diferencial dada pelo método da variação dos parâmetros.
(f) y^prime prime+2 y^prime+y=e^-x ln x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem que não são homogêneas. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular que se ajuste ao lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é r^2 + 2r + 1 = 0 . Para fazer isso, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é dada por:
r = -2 pm raiz(2)^2 - 4(1)(1)2(1) = -2 pm raiz4 - 42 = -22 = -1
Resolvendo essa equação quadrática:
yh = (C1 + C2 x) e^-x
Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp = u1(x) e^-x + u2(x) x e^-x usando o método da variação dos parâmetros. Sabemos que a solução homogênea é u1' e^-x + u2' x e^-x = 0 - u1' e^-x - u2' (x e^-x - e^-x) + 2(u1 e^-x + u2 x e^-x) = e^-x ln x , então escolhemos assumir uma solução particular da forma:
yp = e^-x integral e^x cdot e^-x ln x , dx + x e^-x integral e^x cdot e^-x ln x , dx
Aqui, e são funções que precisamos determinar. Para isso, usaremos o sistema de equações:
Resolvendo o sistema, encontramos e , e depois integramos para encontrar e .
Após os cálculos, obtemos:
Simplificando e calculando as integrais, encontramos .

Passo 4

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea y = yh + yp = (C1 + C2 x) e^-x + yp e da solução particular :

Resposta

A solução geral da equação diferencial y = (C1 + C2 x) e^-x + yp é:
Onde é a solução particular encontrada pelo método da variação dos parâmetros.

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