Sabendo-se que as funções t^-1 / 2 sen t e t^-1 / 2 cos t são soluções linearmente independentes da equação t^2 ddotx+t dotx+(t^2-14) x=0, t>0, encontre a solução geral de
t^2 ddotx+t dotx+(t^2-14) x=3 t^3 / 2 sen t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo:
Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Sabemos que as soluções da parte homogênea (quando o lado direito é zero) são dadas pelas funções e t^2 ddotx + t dotx + (t^2 - 14) x = 3 t^3/2 sen t . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução geral da equação homogênea com uma solução particular da equação não homogênea. Para isso, vamos usar o método de coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a solução geral da equação homogênea. Como já sabemos duas soluções linearmente independentes, e t^-1/2 sen t, a solução geral homogênea é:
Aqui, t^-1/2 cos t e xh(t) = C1 t^-1/2 sen t + C2 t^-1/2 cos t são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( xp(t)) para a equação não homogênea:
Vamos usar o método da variação de parâmetros, pois o termo do lado direito () não é uma solução da equação homogênea ou é semelhante a ela.

Passo 4

No método de variação de parâmetros, assumimos que a solução particular pode ser escrita como:
Aqui, xp(t) = u1(t) t^-1/2 sen t + u2(t) t^-1/2 cos t e u1(t) são funções que vamos determinar.

Passo 5

Para encontrar u1(t) e u2(t), precisamos resolver o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo esse sistema, a gente encontra as derivadas de u1(t) e u2(t). Após alguns cálculos (usando integrais e simplificações), obtemos:
Onde u1(t) = integral ( 3 t^3/2 sen t cdot (-t^-1/2 sen t)W ) dt é o wronskiano das soluções homogêneas, calculado como:

Passo 7

Substituindo o wronskiano W = t^-1 nas expressões de u1(t) e u2(t):
Essas integrais podem ser resolvidas usando identidade trigonométrica e integração por partes.

Passo 8

Após resolver as integrais, obtemos u1(t) e u2(t). Substituindo de volta na expressão de xp(t), temos a solução particular.

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular encontrada:
Onde x(t) = C1 t^-1/2 sen t + C2 t^-1/2 cos t + xp(t) é a solução particular obtida usando a variação de parâmetros.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde x(t) = C1 t^-1/2 sen t + C2 t^-1/2 cos t + xp(t) e C1 são constantes arbitrárias e C2 é a solução particular encontrada através do método de variação de parâmetros.

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