Sabendo-se que as funções sen e são soluções linearmente independentes da equação , encontre a solução geral de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo:
Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Sabemos que as soluções da parte homogênea (quando o lado direito é zero) são dadas pelas funções e . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução geral da equação homogênea com uma solução particular da equação não homogênea. Para isso, vamos usar o método de coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a solução geral da equação homogênea. Como já sabemos duas soluções linearmente independentes, e , a solução geral homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
Vamos usar o método da variação de parâmetros, pois o termo do lado direito () não é uma solução da equação homogênea ou é semelhante a ela.

Passo 4

No método de variação de parâmetros, assumimos que a solução particular pode ser escrita como:
Aqui, e são funções que vamos determinar.

Passo 5

Para encontrar e , precisamos resolver o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo esse sistema, a gente encontra as derivadas de e . Após alguns cálculos (usando integrais e simplificações), obtemos:
Onde é o wronskiano das soluções homogêneas, calculado como:

Passo 7

Substituindo o wronskiano nas expressões de e :
Essas integrais podem ser resolvidas usando identidade trigonométrica e integração por partes.

Passo 8

Após resolver as integrais, obtemos e . Substituindo de volta na expressão de , temos a solução particular.

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular encontrada:
Onde é a solução particular obtida usando a variação de parâmetros.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde e são constantes arbitrárias e é a solução particular encontrada através do método de variação de parâmetros.

Exercícios relacionados

Aponte diferenças entre placa, chapa e casca.
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
(e)
Resolva a equação diferencial dada pelo método da variação dos parâmetros.
(f)
Determine a função complementar e uma forma adequada para a solução particular utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em
(a)
Resp: