Sabendo-se que as funções
sen
e
são soluções linearmente independentes da equação
, encontre a solução geral de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo:
Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Sabemos que as soluções da parte homogênea (quando o lado direito é zero) são dadas pelas funções e
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução geral da equação homogênea com uma solução particular da equação não homogênea. Para isso, vamos usar o método de coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a solução geral da equação homogênea. Como já sabemos duas soluções linearmente independentes, e
, a solução geral homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Vamos usar o método da variação de parâmetros, pois o termo do lado direito () não é uma solução da equação homogênea ou é semelhante a ela.
Passo 4
No método de variação de parâmetros, assumimos que a solução particular pode ser escrita como:
Aqui,
e
são funções que vamos determinar.
Passo 5
Para encontrar
e
, precisamos resolver o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo esse sistema, a gente encontra as derivadas de
e
. Após alguns cálculos (usando integrais e simplificações), obtemos:
Onde
é o wronskiano das soluções homogêneas, calculado como:
Passo 7
Substituindo o wronskiano
nas expressões de
e
:
Essas integrais podem ser resolvidas usando identidade trigonométrica e integração por partes.
Passo 8
Após resolver as integrais, obtemos
e
. Substituindo de volta na expressão de
, temos a solução particular.
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular encontrada:
Onde
é a solução particular obtida usando a variação de parâmetros.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
e
são constantes arbitrárias e
é a solução particular encontrada através do método de variação de parâmetros.
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Aponte diferenças entre placa, chapa e casca.
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
(e)
(e)
Resolva a equação diferencial dada pelo método da variação dos parâmetros.
(f)
(f)
Determine a função complementar
e uma forma adequada para a solução particular
utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em
(a)
Resp:
(a)
Resp: