Determine a função complementar e uma forma adequada para a solução particular utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em
(a)
Resp:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrarmos a função complementar e uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a solução geral da equação, que é a soma da função complementar e da solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função complementar . Para isso, consideramos a equação homogênea associada:

Passo 3

Escrevemos a equação característica associada à equação homogênea:
Resolvendo essa equação quadrática:

Passo 4

Com as raízes e , a função complementar é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular da equação não homogênea:
Usaremos o método dos coeficientes a determinar, que envolve supor uma forma para baseada nos termos do lado direito da equação.

Passo 6

Primeiro, observamos o termo . Como já está presente na função complementar, precisamos multiplicar nosso palpite por , onde é o menor inteiro que não causa duplicidade. Nesse caso, vamos supor um polinômio de grau 5 multiplicado por :

Passo 7

Agora, olhamos para o termo . Para isso, usamos a forma :

Passo 8

Juntando as duas partes, nossa solução particular é:
As constantes e serão determinadas substituindo na equação original e igualando os coeficientes dos termos semelhantes.

Resposta

A função complementar e a solução particular são dadas por:

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(f)
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(b)
Determine a função complementar e uma forma adequada para a solução particular utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em
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Resp: