Determine a função complementar
e uma forma adequada para a solução particular
utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em
(a)
Resp:
(a)
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrarmos a função complementar
e uma solução particular
usando o método dos coeficientes a determinar. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a solução geral da equação, que é a soma da função complementar e da solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função complementar
. Para isso, consideramos a equação homogênea associada:
Passo 3
Escrevemos a equação característica associada à equação homogênea:
Resolvendo essa equação quadrática:
Passo 4
Com as raízes
e
, a função complementar é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular
da equação não homogênea:
Usaremos o método dos coeficientes a determinar, que envolve supor uma forma para
baseada nos termos do lado direito da equação.
Passo 6
Primeiro, observamos o termo
. Como
já está presente na função complementar, precisamos multiplicar nosso palpite por
, onde
é o menor inteiro que não causa duplicidade. Nesse caso, vamos supor um polinômio de grau 5 multiplicado por
:
Passo 7
Agora, olhamos para o termo
. Para isso, usamos a forma
:
Passo 8
Juntando as duas partes, nossa solução particular é:
As constantes
e
serão determinadas substituindo
na equação original e igualando os coeficientes dos termos semelhantes.
Resposta
A função complementar e a solução particular são dadas por:
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial dada pelo método da variação dos parâmetros.
(f)
(f)
Sabendo-se que as funções
sen
e
são soluções linearmente independentes da equação
, encontre a solução geral de
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
(b)
(b)
Determine a função complementar
e uma forma adequada para a solução particular
utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em
©
Resp:
©
Resp: