Determine a função complementar yc(x) e uma forma adequada para a solução particular yp(x) utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em yp(x)
(a) y^prime prime-9 y=6 x^3 e^3 x-2 e^-3 x sen 9 x
Resp: lyc=c1 e^3 x+c2 e^-3 x yp(x)=(A x^5+B x^4+C x^3+D x^2+E x) e^3 x+F e^-3 x cos 9 x+G e^-3 x sen 9 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrarmos a função complementar e uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a solução geral da equação, que é a soma da função complementar e da solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função complementar y'' - 9y = 0 . Para isso, consideramos a equação homogênea associada:

Passo 3

Escrevemos a equação característica associada à equação homogênea:
r^2 - 9 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r = pm 3

Passo 4

Com as raízes yc(x) = c1 e^3x + c2 e^-3x e , a função complementar é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular y'' - 9y = 6x^3 e^3x - 2e^-3x sin(9x) da equação não homogênea:
Usaremos o método dos coeficientes a determinar, que envolve supor uma forma para baseada nos termos do lado direito da equação.

Passo 6

Primeiro, observamos o termo (Ax^5 + Bx^4 + Cx^3 + D x^2 + E x) e^3x . Como já está presente na função complementar, precisamos multiplicar nosso palpite por , onde é o menor inteiro que não causa duplicidade. Nesse caso, vamos supor um polinômio de grau 5 multiplicado por :

Passo 7

Agora, olhamos para o termo F e^-3x cos(9x) + G e^-3x sin(9x) . Para isso, usamos a forma :

Passo 8

Juntando as duas partes, nossa solução particular é:
yp(x) = (A x^5 + B x^4 + C x^3 + D x^2 + E x) e^3x + F e^-3x cos(9x) + G e^-3x sin(9x)
As constantes e serão determinadas substituindo na equação original e igualando os coeficientes dos termos semelhantes.

Resposta

A função complementar e a solução particular são dadas por:
yc(x) = c1 e^3x + c2 e^-3x yp(x) = (A x^5 + B x^4 + C x^3 + D x^2 + E x) e^3x + F e^-3x cos(9x) + G e^-3x sin(9x)

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