Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
(a) Resp:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem uma equação do tipo linear de segunda ordem:
Com as condições iniciais e . Para resolver, vamos precisar usar método da equação característica para a parte homogênea e método dos coeficientes determinados para a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:

Passo 3

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é , vamos supor uma solução particular da forma:
Onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 5

Calculamos as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, com :
çã

Passo 8

Agora, derivamos para usar a segunda condição :
Aplicando :
çã

Passo 9

Vamos resolver o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na Equação 1:

Passo 10

Finalmente, substituímos e na solução geral:
Para simplificar, podemos multiplicar tudo por 4:

Resposta

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Usando a notação vetorial, é o vetor posição da -ésima partícula. A posição do CENTRO DE MASSA, , é definida por:
Onde,
Determine a função complementar e uma forma adequada para a solução particular utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em
(b)
Resp:
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
(e)
Aponte diferenças entre placa, chapa e casca.