Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
(a)
Resp:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem uma equação do tipo linear de segunda ordem:
Com as condições iniciais
e
. Para resolver, vamos precisar usar método da equação característica para a parte homogênea e método dos coeficientes determinados para a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:
Passo 3
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é
, vamos supor uma solução particular da forma:
Onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Então:
Portanto, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, com
:
Passo 8
Agora, derivamos
para usar a segunda condição
:
Aplicando
:
Passo 9
Vamos resolver o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
na Equação 1:
Passo 10
Finalmente, substituímos
e
na solução geral:
Para simplificar, podemos multiplicar tudo por 4:
Resposta
Exercícios relacionados
Usando a notação vetorial,
é o vetor posição da
-ésima partícula. A posição do CENTRO DE MASSA,
, é definida por:
Onde,
Determine a função complementar
e uma forma adequada para a solução particular
utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em
(b)
Resp:
(b)
Resp:
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
(e)
(e)
Aponte diferenças entre placa, chapa e casca.