Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
(a) y^prime prime-6 y^prime-7 y=-9 e^-2 x, y(0)=-2, y^prime(0)=13 Resp: y=e^-x-2 e^7 x-e^-2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem uma equação do tipo linear de segunda ordem:
y'' - 6y' - 7y = -9e^-2x
Com as condições iniciais e . Para resolver, vamos precisar usar método da equação característica para a parte homogênea e método dos coeficientes determinados para a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - 6y' - 7y = 0
Para isso, montamos a equação característica:
r^2 - 6r - 7 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
r = 6 pm raiz36 + 282 = 6 pm raiz642 = 6 pm 82
Então, as raízes são:
r1 = 7 e r2 = -1

Passo 3

Com as raízes yh = C1 e^7x + C2 e^-x e , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
y'' - 6y' - 7y = -9e^-2x
Como o lado direito é yp = A e^-2x , vamos supor uma solução particular da forma:
Onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 5

Calculamos as derivadas de yp' = -2A e^-2x :
yp'' = 4A e^-2x
4A e^-2x - 6(-2A e^-2x) - 7(A e^-2x) = -9e^-2x
Substituindo 4A e^-2x + 12A e^-2x - 7A e^-2x = -9e^-2x , (4A + 12A - 7A) e^-2x = -9e^-2x e 9A e^-2x = -9e^-2x na equação original:
9A = -9 implies A = -1
Simplificando:
yp = -e^-2x
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 e^7x + C2 e^-x - e^-2x

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar -2 = C1 e^0 + C2 e^0 - e^0 implies -2 = C1 + C2 - 1 e C1 + C2 = -1 (Equação 1) .
Primeiro, com :
çã

Passo 8

Agora, derivamos y' = 7C1 e^7x - C2 e^-x + 2e^-2x para usar a segunda condição 13 = 7C1 - C2 + 2 :
7C1 - C2 = 11 (Equação 2)
Aplicando :
çã

Passo 9

Vamos resolver o sistema de equações:
C1 + C2 = -1 7C1 - C2 = 11
Somando as duas equações:
8C1 = 10 implies C1 = 108 = 54
Substituindo 54 + C2 = -1 implies C2 = -1 - 54 = -94 na Equação 1:

Passo 10

Finalmente, substituímos y = 54 e^7x - 94 e^-x - e^-2x e y = e^-x - 2 e^7x - e^-2x na solução geral:
Para simplificar, podemos multiplicar tudo por 4:

Resposta

y = e^-x - 2 e^7x - e^-2x

Exercícios relacionados