Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo para
:
Passo 3
Com as raízes complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar depois usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é uma combinação de cosseno e seno, vamos supor que:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Vamos derivar
para substituir na equação diferencial:
Passo 6
Substituindo
e suas derivadas na equação
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de
e
:
Passo 8
Com os valores de
e
, a solução particular fica:
Passo 9
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 10
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, vamos calcular
:
Sabendo que:
Substituindo:
Passo 11
Agora, vamos calcular a derivada
e aplicar a condição
:
Substituindo
:
Sabendo que:
Substituindo:
Resposta
A solução da equação diferencial é: