Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo para :

Passo 3

Com as raízes complexas , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar depois usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é uma combinação de cosseno e seno, vamos supor que:
Onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Vamos derivar para substituir na equação diferencial:

Passo 6

Substituindo e suas derivadas na equação :
Simplificando:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de e :

Passo 8

Com os valores de e , a solução particular fica:

Passo 9

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 10

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, vamos calcular :
Sabendo que:
Substituindo:

Passo 11

Agora, vamos calcular a derivada e aplicar a condição :
Substituindo :
Sabendo que:
Substituindo:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
(a) Resp:
Usando a notação vetorial, é o vetor posição da -ésima partícula. A posição do CENTRO DE MASSA, , é definida por:
Onde,
Aponte diferenças entre placa, chapa e casca.
Sabendo-se que as funções sen e são soluções linearmente independentes da equação , encontre a solução geral de