Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
(e) y^prime prime+9 y=cos x-sen x, y(pi / 2)=y^prime(pi / 2)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é r^2 + 9 = 0 . Para isso, montamos a equação característica:
r^2 = -9 implies r = pm 3i
Resolvendo para :

Passo 3

Com as raízes complexas yh(x) = C1 cos(3x) + C2 sin(3x) , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar depois usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp(x) = A cos x + B sin x para a equação completa . Como o lado direito é uma combinação de cosseno e seno, vamos supor que:
Onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Vamos derivar yp'(x) = -A sin x + B cos x para substituir na equação diferencial:
yp''(x) = -A cos x - B sin x

Passo 6

Substituindo (-A cos x - B sin x) + 9(A cos x + B sin x) = cos x - sin x e suas derivadas na equação (-A + 9A) cos x + (-B + 9B) sin x = cos x - sin x :
8A cos x + 8B sin x = cos x - sin x
Simplificando:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de 8A = 1 implies A = 18 e 8B = -1 implies B = -18 :

Passo 8

Com os valores de yp(x) = 18 cos x - 18 sin x e , a solução particular fica:

Passo 9

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 cos(3x) + C2 sin(3x) + 18 cos x - 18 sin x

Passo 10

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar y(pi2) = C1 cos(3pi2) + C2 sin(3pi2) + 18 cos(pi2) - 18 sin(pi2) = 0 e cos(3pi2) = 0, sin(3pi2) = -1, cos(pi2) = 0, sin(pi2) = 1 .
Primeiro, vamos calcular 0 + C2 (-1) + 0 - 18 = 0 implies -C2 - 18 = 0 implies C2 = -18 :
Sabendo que:
Substituindo:

Passo 11

Agora, vamos calcular a derivada y'(x) = -3C1 sin(3x) + 3C2 cos(3x) - 18 sin x - 18 cos x e aplicar a condição y'(pi2) = -3C1 sin(3pi2) + 3C2 cos(3pi2) - 18 sin(pi2) - 18 cos(pi2) = 0 :
sin(3pi2) = -1, cos(3pi2) = 0, sin(pi2) = 1, cos(pi2) = 0
Substituindo -3C1 (-1) + 0 - 18 (1) - 0 = 0 implies 3C1 - 18 = 0 implies C1 = 124 :
Sabendo que:
Substituindo:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 124 cos(3x) - 18 sin(3x) + 18 cos x - 18 sin x

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