Usando a notação vetorial, ri=xi imath+yi jmath+zi k é o vetor posição da i-ésima partícula. A posição do CENTRO DE MASSA, ri, é definida por:
rC M=1M(m1 r1+m2 r2+cdots+mN rN)=1M sumi=1^N mi ri
Onde,
rC M=xC M imath+yC M jmath+zC M k

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre o Centro de Massa usando notação vetorial. O conteúdo aqui é de Mecânica, mais especificamente de Estatística de Partículas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o centro de massa de um sistema de partículas usando vetores de posição e as massas de cada partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um vetor posição. Para cada partícula ri = xi imath + yi jmath + zi k , o vetor posição nos dá a posição dessa partícula no espaço tridimensional. É representado por:
Aqui, , e são as coordenadas da partícula nos eixos , e respectivamente.

Passo 3

Agora, o Centro de Massa rCM = 1M sumi=1^N mi ri é como se fosse o “ponto médio” de todo o sistema de partículas, levando em conta as massas individuais de cada partícula. A fórmula para calcular o centro de massa é:
Onde:
  • é a massa total do sistema.
  • é a massa da partícula .
  • é o vetor posição da partícula .
  • é o número total de partículas.

Passo 4

Vamos quebrar a fórmula para entender melhor. A soma significa que estamos multiplicando a massa de cada partícula pelo seu vetor posição e somando tudo isso. Isso nos dá uma espécie de “peso” de cada posição conforme a massa.
Depois, dividimos essa soma pela massa total para normalizar e encontrar a posição média ponderada, que é o centro de massa.

Passo 5

Por fim, o vetor posição do centro de massa rCM = xCM imath + yCM jmath + zCM k também pode ser escrito em termos das componentes individuais:
Isso significa que o centro de massa tem coordenadas , que são calculadas separadamente para cada eixo usando as mesmas relações de soma de massas ponderadas.

Resposta

O centro de massa rCM = 1M sumi=1^N mi ri = 1M ( m1 r1 + m2 r2 + cdots + mN rN ) do sistema de partículas é calculado pela soma das massas de cada partícula multiplicadas pelos seus vetores posição, dividida pela massa total do sistema:

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