Usando a notação vetorial,
é o vetor posição da
-ésima partícula. A posição do CENTRO DE MASSA,
, é definida por:
Onde,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre o Centro de Massa usando notação vetorial. O conteúdo aqui é de Mecânica, mais especificamente de Estatística de Partículas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o centro de massa de um sistema de partículas usando vetores de posição e as massas de cada partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um vetor posição. Para cada partícula
, o vetor posição
nos dá a posição dessa partícula no espaço tridimensional. É representado por:
Aqui,
,
e
são as coordenadas da partícula
nos eixos
,
e
respectivamente.
Passo 3
Agora, o Centro de Massa
é como se fosse o “ponto médio” de todo o sistema de partículas, levando em conta as massas individuais de cada partícula. A fórmula para calcular o centro de massa é:
Onde:
-
é a massa total do sistema. -
é a massa da partícula . -
é o vetor posição da partícula . -
é o número total de partículas.
Passo 4
Vamos quebrar a fórmula para entender melhor. A soma
significa que estamos multiplicando a massa de cada partícula pelo seu vetor posição e somando tudo isso. Isso nos dá uma espécie de “peso” de cada posição conforme a massa.
Depois, dividimos essa soma pela massa total
para normalizar e encontrar a posição média ponderada, que é o centro de massa.
Passo 5
Por fim, o vetor posição do centro de massa
também pode ser escrito em termos das componentes individuais:
Isso significa que o centro de massa tem coordenadas
, que são calculadas separadamente para cada eixo usando as mesmas relações de soma de massas ponderadas.
Resposta
O centro de massa
do sistema de partículas é calculado pela soma das massas de cada partícula multiplicadas pelos seus vetores posição, dividida pela massa total do sistema:
Exercícios relacionados
Determine a função complementar
e uma forma adequada para a solução particular
utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em
(b)
Resp:
(b)
Resp:
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar.
(d) . Resp:
(d)
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
(a) Resp:
(a)
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
(e)
(e)