Determine a função complementar
e uma forma adequada para a solução particular
utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em
(b)
Resp:
(b)
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente precisa determinar a função complementar
e uma forma adequada para a solução particular
usando o método dos coeficientes a determinar. A equação que temos é:
Para isso, vamos precisar entender como encontrar a solução da equação homogênea associada e depois propor uma forma para a solução particular baseada no lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função complementar
. Isso envolve resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Encontramos uma raiz dupla em
. Quando temos raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
Mas como temos uma raiz dupla, a solução complementar fica:
Passo 3
Agora, vamos propor uma forma adequada para a solução particular
usando o método dos coeficientes a determinar. O lado direito da equação é:
Vamos separar isso em partes para facilitar:
- Polinomial:
- Exponencial vez polinomial:
- Exponencial vezes cosseno:
Para cada uma dessas partes, vamos propor uma forma para
:
- Para
: A solução particular será um polinômio de grau 3:
- Para
: Normalmente, escolheríamos um termo da forma . Porém, como já está na solução complementar, precisamos multiplicar por para evitar repetição:
- Para
: Para funções como , a solução particular assume a forma:
Juntando tudo, a solução particular completa fica:
Resposta
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar.
(d) . Resp:
(d)
Determine a função complementar
e uma forma adequada para a solução particular
utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em
Resp:
Resp:
Usando a notação vetorial,
é o vetor posição da
-ésima partícula. A posição do CENTRO DE MASSA,
, é definida por:
Onde,
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
(a) Resp:
(a)