Determine a função complementar yc(x) e uma forma adequada para a solução particular yp(x) utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em yp(x)
(b) y^prime prime-4 y^prime+4 y=5 x^3-2-x^2 e^2 x+4 e^2 x cos x
Resp: lyc=c1 e^2 x+c2 x e^2 x yp(x)=A x^3+B x^2+C x+D+(E x^4+F x^3+G x^2) e^2 x+H e^2 x cos x+I e^2 x sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente precisa determinar a função complementar y'' - 4y' + 4y = 5x^3 - 2 - x^2 e^2x + 4 e^2x cos x e uma forma adequada para a solução particular usando o método dos coeficientes a determinar. A equação que temos é:
Para isso, vamos precisar entender como encontrar a solução da equação homogênea associada e depois propor uma forma para a solução particular baseada no lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função complementar y'' - 4y' + 4y = 0 . Isso envolve resolver a equação homogênea associada:
r^2 - 4r + 4 = 0
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo r = 4 pm raiz16 - 162 = 42 = 2 :
yc(x) = c1 e^r1 x + c2 e^r2 x
Resolvendo essa equação quadrática:
yc(x) = c1 e^2x + c2 x e^2x
Encontramos uma raiz dupla em . Quando temos raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
Mas como temos uma raiz dupla, a solução complementar fica:

Passo 3

Agora, vamos propor uma forma adequada para a solução particular 5x^3 - 2 - x^2 e^2x + 4 e^2x cos x usando o método dos coeficientes a determinar. O lado direito da equação é:
yp1(x) = A x^3 + B x^2 + C x + D
Vamos separar isso em partes para facilitar:
  1. Polinomial: yp2(x) = (E x^4 + F x^3 + G x^2) e^2x
  2. Exponencial vez polinomial: yp3(x) = e^2x (H cos x + I sin x)
  3. Exponencial vezes cosseno: yp(x) = A x^3 + B x^2 + C x + D + (E x^4 + F x^3 + G x^2) e^2x + H e^2x cos x + I e^2x sin x
Para cada uma dessas partes, vamos propor uma forma para :
  1. Para : A solução particular será um polinômio de grau 3:
  1. Para : Normalmente, escolheríamos um termo da forma . Porém, como já está na solução complementar, precisamos multiplicar por para evitar repetição:
  1. Para : Para funções como , a solução particular assume a forma:
Juntando tudo, a solução particular completa fica:

Resposta

yc(x) = c1 e^2x + c2 x e^2x yp(x) = A x^3 + B x^2 + C x + D + (E x^4 + F x^3 + G x^2) e^2x + H e^2x cos x + I e^2x sin x

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