Determine a função complementar e uma forma adequada para a solução particular utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em
(b)
Resp:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente precisa determinar a função complementar e uma forma adequada para a solução particular usando o método dos coeficientes a determinar. A equação que temos é:
Para isso, vamos precisar entender como encontrar a solução da equação homogênea associada e depois propor uma forma para a solução particular baseada no lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função complementar . Isso envolve resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo :
Resolvendo essa equação quadrática:
Encontramos uma raiz dupla em . Quando temos raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
Mas como temos uma raiz dupla, a solução complementar fica:

Passo 3

Agora, vamos propor uma forma adequada para a solução particular usando o método dos coeficientes a determinar. O lado direito da equação é:
Vamos separar isso em partes para facilitar:
  1. Polinomial:
  2. Exponencial vez polinomial:
  3. Exponencial vezes cosseno:
Para cada uma dessas partes, vamos propor uma forma para :
  1. Para : A solução particular será um polinômio de grau 3:
  1. Para : Normalmente, escolheríamos um termo da forma . Porém, como já está na solução complementar, precisamos multiplicar por para evitar repetição:
  1. Para : Para funções como , a solução particular assume a forma:
Juntando tudo, a solução particular completa fica:

Resposta

Exercícios relacionados

Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar.
(d) . Resp:
Determine a função complementar e uma forma adequada para a solução particular utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em

Resp:
Usando a notação vetorial, é o vetor posição da -ésima partícula. A posição do CENTRO DE MASSA, , é definida por:
Onde,
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
(a) Resp: