Resolva a equação diferencial exata :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial exata. Isso está relacionado ao estudo das equações diferenciais, que são equações que envolvem derivadas de funções desconhecidas. Para resolver essa equação, precisamos identificar se ela é exata e, se for, encontrar uma função potencial que satisfaça a equação. Vamos usar integração e verificar a condição de exatidão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação diferencial. Ela está na forma:
Aqui, podemos chamar:
e
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, verificar se:
Passo 4
Calculando
:
E agora, calculando
:
Passo 5
Como vimos,
, ou seja:
Isso confirma que a equação diferencial é exata.
Passo 6
Agora que confirmamos que é exata, sabemos que existe uma função potencial
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 7
Integrando
em relação a
:
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Passo 9
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Finalmente, a função potencial
é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Calcule
Encontre
se
e
.
Classifique quanto a ordem e identifique o grau de cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo
.
Seja
ou
. Uma função
é dita homogênea de grau
, se para todo
. Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau