Resolva a equação diferencial exata :
(y^2 cos(x) - 3 x^2 y - 2 x) dx + (2 y sen(x) - x^3 + e^y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial exata. Isso está relacionado ao estudo das equações diferenciais, que são equações que envolvem derivadas de funções desconhecidas. Para resolver essa equação, precisamos identificar se ela é exata e, se for, encontrar uma função potencial que satisfaça a equação. Vamos usar integração e verificar a condição de exatidão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação diferencial. Ela está na forma:
Aqui, podemos chamar:
e

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, verificar se:

Passo 4

Calculando :
E agora, calculando :

Passo 5

Como vimos, , ou seja:
Isso confirma que a equação diferencial é exata.

Passo 6

Agora que confirmamos que é exata, sabemos que existe uma função potencial tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 7

Integrando em relação a :

Passo 8

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que:

Passo 9

Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Finalmente, a função potencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Calcule
a) 1/(b + sen(c)) f(-y, y), y != 0
Encontre F(g(x), h(x)) se F(x, y) = x * e^(x * y), g(x) = x^3 e h(y) = 3y + 1.
Classifique quanto a ordem e identifique o grau de cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo
(d^2 y)/(d x^2)^3 + (d y)/(d x)^2 + y = 0.
Seja u em R^n, n=2 ou n = 3. Uma função f é dita homogênea de grau m pertence a Z, se para todo t > 0, f(t u) = t^m f(u). Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau
a) 1/(b + sen(c)) f(x, y) = 3 x^2 + 5 x y + y^2